Квантовая статистика.

Граница применимости классической статистики:

классическая статистика имеет ограниченное применение, поскольку движение микрочастиц подчиняется правилам только квантовой механики.

Для газов и жидкостей классическую статистику можно применять, если λ=2πЋ/mv<d, где

d=1/n^1/3-расстояние между частицами

При температурах и давлениях, близким к нормальным эти условия почти всегда выполняются, однако при повышении температуры T>1000 К в газах начинаются процессы возбуждения колебательных степеней свободы, которые всегда подчиняются законам квантовой механики, а при низкихT=1-10 К длины волн Де Бройля сравниваются с расстояниями между частицами.

Что касается твёрдых тел, то к ним применить классическую статистику практически невозможно.

Переход к квантовой статистике некоторых добавлений классической статистической статистики, но никогда не затрагивает её основ, т.к. она имеет дело с ограниченным количеством частиц.

3 главных отличия квантовой статистики:

1) В квантовой статистике определяется вероятность методами даже для одной частицы

2) В квантовой статистике при различных состояниях многие физические величины принимают ряд дискретных значений. В связи с этим операция интегрирования для нахождения средних величин заменяется суммированием по различным квантовым состояниям, т.е. статистические интегралы заменяются статистическими суммами.

3)связано с принципом тождественности частиц, который определён только в квантовой механике.

Кроме того при квантовом рассмотрении частицы с целым спином и частицы с полуцелым спином подчиняются разной статистике.

В классической физике одни и те же частицы различаются по микросостояниям (т.о. по разным координатам и по импульсам, которые они имеют в некотором фазовом пространстве). и за классическими частицами всегда можно проследить по их траектории.

В квантовой механике нет понятия определённой траектории, что следует из соотношения неопределенностей, поэтому координаты и импульсы частиц, которые представляются как волны де Бройля, при движении перекрываются и расплываются в пространстве.

В области перекрывания частицы одного и того же вида теряют свою индивидуальность и перестановка местами этих частиц оставляет неизменным данное микроскопическое состояние. Принцип тождественности одинаковых частиц требует, чтобы в системе из двух частиц их состояния описывались бы волновыми функциями, которые не меняются при перестановке этих частиц местами (ψ(1,2)=ψ(2,1)) или при перестановке менялся знак (ψ(1,2)= -ψ(2,1)), т.е. возникают антисимметричные волновые функции, но т.к. физический смысл имеет квадрат пси-функции, то изменения знака никогда не означает изменения состояния. Симметричными волновыми функциями описываются бозоны-частицы с целым значением спинового числа S, к ним относятся абсолютно все частицы, которые переносят фундаментальные взаимодействия, т.е. это могут быть фотоны, π-мезоны, α-частицы.

Антисимметричными волновыми функциями описываются состояния частиц с полуцелым спином, эти частицы называются фермионами, и к ним относятся электроны. протоны, нейтроны, а также ядра гелия.

Из фермионов образованы вещества, а бозоны- это частицы взаимодействия.

Из свойства антисимметричности пси-функции вытекает принцип Паули:

“2 фермиона не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии, т.е. обладать одним и тем же набором квантовых чисел, определяющих это состояние”. Например, в атомах волны де Бройля отдельных электронов перекрываются между собой, поэтому, если два электрона имеют одни и те же квантовые числа, то они тождественны, их перестановка ничего не меняет , однако волновые функции ψ(1,2)= -ψ(2,1) , поэтому волновая функция равна сама себе с обратным знаком, следовательно свойства антисимметрии гарантируют выполнение принципа Паули, и поэтому образуются атомно-молекулярная структура и таблица Менделеева. В соответствии с принципом тождественности и принципом Паули все функции распределения имеют определённые особенности:

Если частицы неразличимы, то состояния 3 и 4 абсолютно неразличимы, и тогда состояния 3 и4 абсолютно неразличимы

Если не вводить других ограничений на статистические распределения, и если допустим, что в каждой ячейке может быть неограниченное число частиц. В таблице 2соответствует случаю частиц Бозе, которое описывается симметричными волновыми функциями.

Если же частицы подчиняются принципу Паули и их состояние описывается антисимметричными волновыми функциями, то с учётом спина в каждом состоянии остаётся не более одной частицы и такая статистика носит название Ферми-Дирака.

Разные статистики, по которым рассчитываются состояния квантовых систем влияют на процедуру подсчёта термодинамических функций, в частности энтропии и энтальпии. Рассмотрим каждую статистику отдельно.