Избыточное давление под сферической поверхностью жидкости

Проще всего найти избыточное давление для поверхности, имеющей сферическую форму, используя закон сохранения энергии.

Будем увеличивать сферическую каплю, впрыскивая внутрь нее жидкость с помощью очень тонкого шприца (рис. 7.23). Пусть при этом объем капли увеличивается от значения V₁ до значения V₂, причем приращение объема очень мало. При очень малом увеличении объема давление можно считать постоянным, тогда работа сил давления при изменении объема на ΔV, равная pΔV (см. § 5.1), в данном случае будет:

(7.6.1)

где р_и — избыточное давление.

Рис. 7.23

Работа А отрицательна, так как сила избыточного давления, действующая на элемент поверхности, направлена в сторону, противоположную направлению перемещения элемента поверхности. Эта работа равна изменению потенциальной (поверхностной) энергии, взятому с противоположным знаком:

(7.6.2)

где S₁ и S₂ — начальная и конечная площади поверхности капли. Следовательно,

(7.6.3)

Найдем изменение объема шара ΔV и изменение площади поверхности шара ΔS при малом увеличении Δr его радиуса:

(Здесь мы пренебрегли членами, пропорциональными Δr² и Δr³ ввиду их малости.) Подставив выражения (7.6.4) и (7.6.5) в соотношение (7.6.8), получим

(7.6.6)

Формула (7.6.6) применима не только для сферической капли жидкости, но и для любых искривленных поверхностей, имеющих форму части сферы, например для таких, какие изображены на рисунках 7.17, в, 7.18, 7.22, б, в. Под выпуклой поверхностью давление больше внешнего давления, а под вогнутой меньше (рис. 7.24).

Рис. 7.24

Если поверхность жидкости сферическая, то возникает разность давлений, равная

где р — давление под искривленной поверхностью жидкости; р₀ — давление под плоской поверхностью, равное внешнему давлению;r — радиус сферы.