Статистика Ферми-Дирака.

-статистика фермионов, особенностью которых является подчинению принципу Паули, в этом случае в каждой ячейке заполнения .

Если учесть эту особенность для среднего числа частиц, можно записать соотношение:

<n_i>=1/(exp((ε_i –μ)/kT)+1) (1)

Это выражение применяется к описанию так называемого электронного газа в металлах, и в металлах кулоновские взаимодействия между электронами, а также взаимодействие электронов с ионным остовом кристалла, в среднем компенсируют друг друга, и электроны поэтому без особенных препятствий перемещаются по всему кристаллическому образцу, также как ведёт себя идеальный газ, и поэтому называются электронным газом.

и тогда их кинетическую энергию можно считать полной, а потенциальной энергией взаимодействия можно пренебречь, и с точки зрения Ур-я Шр. это есть задача о нахождении частицы в потенциальной яме.

(1)-распределение Ферми-Дирака, где μ- химический потенциал, зависящий от температуры и плотности частиц, и этот химический потенциал находится и з условия нормировки, т.е.из условия, что общее количество частиц равно N.

При Т=0 и ε_i<μвеличина <n_i>→1

Если ε_i>μ, то <n_i>→0

Химический потенциал при нулевой температуре играет роль особой энергии, хотя по классическим представлениям при 0 К всякая энергия стремится к нулю. Что это за энергия?

Электроны, подчиняющиеся принципу Паули не могут все одновременно иметь нулевую энергию при T→0.

На каждой полосе будут 2 электрона с противоположными спинами, и величина будет зависеть от числа электронов в некотором объёме V, а также от разности энергий между соседними уровнями. Электронный газ в таком положении называется полностью вырожденным. Энергия , равная наибольшей энергии при Т=0 для частиц с полуцелым спином называется энергией ферми или уровнем Ферми.

Это означает, что химический потенциал при температуре 0 Kсовпадает с энергией Ферми. Для электронов, которые являются фермионами, средне число частиц и вероятность заселённости квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние может быть либо незаселённым (n=0), либо там находится одна частица. При энергии, равной потенциалу μ, функция (или график) меняется скачком до нуля. Это означает, что все нижние квантовые состояния вплоть до состояния ε=0 уже заняты электронами, а все состояния с энергиями большими свободны, следовательно именно поэтому не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны при 0 К.При не слишком высоких температурах, когдаT<<ε_f. Это означает, что электронный газ в металле находится практически всегда в состоянии сильного вырождения. температура вырождения может быть найдена из соотношенияT_B= ε_f/kи именно эта Т определяет границу, выше которой квантовые эффекты несущественны. Для электронов в металле температура вырожденияT_B≈10⁴K, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твёрдом состоянии, электронный газ в металле не вырожден.

Система называется вырожденной, если её свойства существенно отличаются от свойств системы, подчиняющейся классической статистике Максвелла-Больцмана, поведение как Бозе- газаж так и Ферми-газа отличаются от классического газа и оба всегда являются вырожденными. Вырождение газов становится существенным при низких температурах или больших плотностях. Температурой вырождения называется температура, ниже которой отчётливо проявляются свойства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц и, если температура выше температуры вырождения, то газ подчиняется классической статистике.

При Т>0 функция Ферми-Дирака плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области порядка кТ в окрестности ε=ε_f, это объясняется тем. что приT>0 небольшое число электронов с энергией большей энергии Ферми, возбуждается за счёт теплового движения, и их энергия становится больше, чем энергия Ферми. Вблизи границы, когда немного меньше заполнение меньше 1, и когда немного больше, тогда заполнение будет больше нуля. И в этом тепловом движении участвует малое количество электронов.