Потенциальный барьер конечной ширины.

В классической физике частица пролететь не может, а в квантовой есть вероятность, что электрон окажется в области 2.

E<U0

Вероятность прохождения частицы через барьер (или прозрачность барьера(D)) определяется отношением вероятности обнаружить частицу в точкеx=dза барьером к вероятности в точкеx=0 перед барьером:

ω=dω₃(d)/dω₁(0)

dω₁(0)=|Ψ₁(0)|²dx

dω₃(d)= |Ψ₃(d)|²dx

ω=|Ψ₃(d)|²dx/|Ψ₁(0)|²dx=|Ψ₃(d)|²/|Ψ₁(0)|²

т.е. задача сводится к нахождению волновых функций 1 и 3. Для каждой из областей запишем своё уравнение Шредингера:

1) d²Ψ₁/dx²+(2m/Ћ²)EΨ₁=0

d²Ψ₂/dx²+(2m/Ћ²)(E-U₀)Ψ₂=0 - во второй области есть сначала потенциальная энергия.

d²Ψ₃/dx²+(2m/Ћ²)EΨ₃=0

Введём обозначения К1 и К2:

K₁=/Ћ

К₂=₀)/Ћ

K₃=/Ћ

Исходные уравнения запишутся в виде:

Ψ₁”+k²Ψ₁=0

Ψ₂”-k²Ψ₂=0

Ψ₃”+k²Ψ₃=0

Решение этих уравнений будем искать в показательной форме:

Ψ₁=A₁exp(ik₁x)+B₁exp(-ik₁x)

Ψ₂=A₂exp(-ik₂x)+B₂exp(+ik₂x),

Ψ₃=A₃exp(ik₃x)+B₃exp(-ik₃x)

exp(ikx) соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении осиx

exp(-ikx) в противоположном направлении

А1-амплитуда волны падающей справа на барьер

В1-амплитуда волны, прошедшей через барьер в третью область

В2-амплитуда волны, отраженной от барьера в точке x=d

A3-амплитуда волны, прошедшей через барьер в точкеx=d

В3=0 (т.к. как ничего не отражалось)

Не будем учитывать отраженные волны, тогда пси-функции упрощаются:

Ψ₁=A₁exp(ik₁x)

Ψ₂=A₂exp(-ik₂x)

Ψ₃=A₃exp(ik₃x)

Здесь пси-функции содержат мнимую единицу. Вспомним что |Ψ|²=Ψ·Ψ^*

|Ψ₁|²= A₁exp(ik₁x)· A₁exp(-ik₁x)=A₁²

|Ψ₃|²= A₃exp(ik₃x)· A₃exp(-ik₃x)=A₃²

тогда ω=A₃²/A₁²

В области барьера пси-функция действительна, учтём непрерывность пси-функции на границе, тогда в точке x=0 А₁≈А₂и в точкеx=dА₃=А₂·exp(-K₂d), тогда

ω= A₃²/ A₁²= А₂·exp(-K₂d)/ А₂= exp(-K₂d)

Вспомним, что К₂=₀)/Ћ, тогда

ω=exp((-2/Ћ)d)

Все химические реакции основаны на преодолении потенциального барьера.