Потенциальная ступень.

Потенциальной ступенью называется ограниченная параллельными плоскостями область пространства, в которой потенциальная функция U(x) больше, чем в прилегающих областях.

Рассмотрим поведение частицы на границе областей 1 и 2, где потенциальная функция меняется скачком, примем U₁=0 иU₂=U₀.

Рассмотрим случай когда E>U₀

по классической физике частица пролетит, а в квантовой физике возможны варианты.

Для каждой области 1 и2 составим уравнения Шредингера(одномерное):

1. d²Ψ₁/dx²+(2m/Ћ²)EΨ₁=0

2. d²Ψ₂/dx²+(2m/Ћ²)(E-U)Ψ₂=0

Обозначим (2m/Ћ²)Е=k², тогда

K₁=/Ћ=p/Ћ=2π/λ₁, гдеλ₁- длина волны де Бройля в 1ой области.

К₂=/Ћ=p/Ћ=2π/λ₂, гдеλ₂- длина волны де Бройля во второй области.

Ψ₁”-k²Ψ₁=0 (3)

Ψ₂”-k²Ψ₂=0 (4)

Решение уравнения Шредингера (3)и (4) будем искать в показательной форме.

Ψ₁=A₁exp(ik₁x)+B₁exp(-ik₁x)

Ψ₂=A₂exp(ik₂x)+B₂exp(-ik₂x), где

A₁-это амплитуда падающей на ступень волны,

В₁-это амплитуда отраженной от ступени волны,

А2-это амплитуда, прошедшей через ступень волны,

В₂=0, т.к. не будет отражения

exp(ikx) принадлежит проходящей волне

exp(-ikx) принадлежит отраженной волне

Тогда движение электрона представляется плоской волной де Бройля на границе ступени. где происходит внезапный рост потенциальной энергии эта волна должна вести себя так как ведёт себя световая волна на границе двух сред с различными показателями преломления, следовательно на границе волна де Бройля частично отражается в первую область, а частично проходит во вторую область. Найдём вероятность, с которой волна отразится и вероятность, с которой волна будет проходить.

Для решения этих задач необходимо воспользоваться свойствами волн де Бройля и свойствами волновой функции. при которой функция на границе двух сред непрерывна, а также непрерывна её первая производная .

На границе двух сред функция непрерывна, значит в 1ой области x<0, а во второй областиx>0. В т.0 функция должна быть непрерывна и мы получаем:

А₁+В₁=А₂

должны быть равны ещё и первые производные в т. x=0 возьмём первую производную по (3) и (4), подставляемx=0 и получим:

K₁(1-B₁)=K₂A₂

получаем систему:

А₁+В₁=А₂

K₁(1-B₁)=K₂A₂

Принято А₁принимать равным 1, тогда

1+В₁=А₂

K₁-К₁B₁=K₂A₂

В₁=(K₁-K₂)/(K₁+K₂)

A₂=2K₁/(K₁+K₂)

Пользуясь аналогией с оптикой, определим коэффициент отражения ρи коэффициент прохождения(прозрачности)

ρ=отношение квадратов амплитуд отраженной и падающей волн:

ρ=B₁²/A₁²

= отношение квадратов амплитуд прошедшей и падающей волны

=A₂²/A₁²

Получаем ρ=(K₁-K₂)²/(K₁+K₂)²

=4K₁K₂/(K₁+K₂)²

По закону сохранения вещества ρ+=1

По законам классической физики электрон пройдёт, а в квантовой физике есть вероятность. что электрон будет отражён.