Потенциал Морзе.

Колебательный энергетический спектр ангармонического осциллятора.

Модель ангармонического осциллятора описывает колебания двухатомной молекулы только при очень малых смещениях x=r-r₀. Согласно модели г.о. с ростомx,FиUнеограниченно растут(U=(1/2)·βx², что не может быть в реальности, потому что при смещении молекулы могут расходиться. Это означает, что сила упругости должна описываться более сложной формой кривой, чем парабола. В общем случае колебания молекулы должны быть ангармоническими, а потенциальная энергия должна иметь более сложную зависимость от координаты. Один из самых возможных способов описания потенциальной энергии ангармонического осциллятора(АГО) является потенциал Морзе, по которому:U(r) =U₀[1-exp(-[α(r-r₀)]²

U₀-толщина потенциальной ямы.

r-текущее расстояние между двумя атомами

r₀-расстояние между атомами в момент взаимодействия.

α-коэффициент, характеризующий упругую часть взаимодействия

В п.М. за ноль потенциальной энергии принимается энергия атомов, находящихся на расстоянии .

В случае малых отклонений функция Морзе переходит в обычную параболу, т.е. даёт простую квадратичную зависимость от. Для получения собственных значений колебательной энергии АГО следует в Ур-е Шр. подставить п.М. и мы получаем:

Ψ”(r)+(2μ/Ћ2)(E-U(r))·Ψ(r)=0, где

μ–приведённая масса двухатомной молекулыμ=m₁·m₂/(m₁+m₂)

Решение этого уравнения для ГOдаёт значение колебательной энергии:

E_ν=Ћω[(ν+1/2)-γ(ν+1/2)²], где

ω-собственная частота колебаний молекулы,

ν-колебательное квантовое число

γ-коэффициент ангармоничности

Правило отбора для АГО не существует, и поэтому возможны переходы между любыми уровнями.

γ<<1

Для двух соседних колебательных уровней:

∆E_ν+1,ν=E _ν+1-E _ν=Ћω[1-2γ(ν+1)]

С ростом ν расстояние между соседними уровнями уменьшается и при некоторой величине ν_maxэто расстояние обращается в ноль.

Найдём ν_max:

∆E_ν+1,ν =0

ν_max=1/2γ-1≈1/2γ

этому максимальному колебательному числу соответствует максимальная энергия, которую можно получить, если подставить полученное значение в формулу для энергии E _ν:

E_max=Ћω/4γ

Чисто колебательный спектр излучения молекул состоит из системы линий, частоты излучения ω которых:

Ћω_излуч. = ∆E_ν+1,ν; ω_излуч.=ω(1-2γ(ν+1)), где

ω-собственная частота колебаний молекулы.

Энергия диссоциации равна той энергии, которую необходимо совершить молекуле, находящейся в связанном состоянии, чтобы она диссоциировала на атомы.

D= Ћω/4γ-Ћω/2