Атом водорода в квантовой механике.

∆Ψ+(2m/Ћ²)(E-U)Ψ=0

Для атома водорода с Z=1

потенциальная энергия U(r)= -Ze²/4πε₀r_n

E<0- электрон в поле ядра в связанном состоянии.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновым уравнением Шредингера для стационарных состояний

∆Ψ+(2m/Ћ²)(E+Ze²/4πε₀r_n)Ψ=0 (*)

т.к. поле, в котором движется электрон является радиально симметричным, то необходимо использовать сферическую систему координат также, как при описании жесткого ротатора.

Оператор Лапласа в сферической системе координат:

∆(r,Θ,φ)= (1/r²)[(∂/∂r)(r²∂/∂r)+(1/sin²Θ)(∂/∂Θ)(SinΘ∂/∂Θ)+(1/sin²φ)(∂²/∂φ²)] (2)

Или, если записать коротко, то:

∆(r,Θ,φ)= (1/r²)∆r+(1/r²)∆Θ,φ(3), где

∆r-радиальная часть оператора Лапласа

∆Θ,φ-угловая часть оператора Лапласа

Тогда уравнение (*) перепишется в сферической системе координат:

∆(r,Θ,φ)Ψ+(2m/Ћ²)(E+Ze²/4πε₀r_n)Ψ=0 (4)

Подставим , как произведение двух функций:

Ψ(r,Θ,φ)=R_r+Y_Θφ, гдеRзависит только отr,Yот углов Θ,φ.

Если подставить (5) в (4), после всех операций с дифференцированием получаем:

(Y/r²) ∆rR+(R/r²) ∆Θ,φ·Y+(2m/Ћ²)(E+Ze²/4πε₀r_n)RY=0 (6)

Умножим (6) на rи разделим наRYи сразу же разделим переменные:

1/R∆rR+(2m/Ћ²)(E+Ze²/4πε₀r_n)r²=-1/Y∆Θ,φ·Y(7)

Левая часть зависит только от r, а правая только от углов .

Такое равенство может иметь место только в одном случае: если левая и правая части будут равны одной и той же постоянной

1/R∆rR+(2m/Ћ²)(E+Ze²/4πε₀r_n)r²=Λ (8)

1/Y∆Θ,φ·Y=Λ (9)

(8) называется уравнением для радиальной части волновой функции.

(9)- это угловое уравнение для волновой функции.

Решение для угловой части показывает, что параметр Λ может иметь определённые значения

Λ=l(l+1), гдеl- орбитальное квантовое число

l=0,1,2,..,(n-1), гдеn- главное квантовое число, отвечающее за энергетический уровень

Ур-е (8) для радиальной части допускает 2 решения:

1. При E>0 спектр значений энергии непрерывен и может быть решён с точки зрения классической физики. Это соответствует случаям, когда электрон, обладающий большой энергией, пролетая вблизи ядра удаляется в бесконечность( уходит от атома).

2. если E<0, то электрон тесно связан с ядром, и тогда спектр дискретен. Решение радиальной части для энергий даёт в точности такое же значение собственной энергии, какое было выведено из постулатов Бора.

Также как для потенциальной ямы, для осциллятора и для ротатора, решение Ур-я Шр. для атома водорода даёт дискретные значения энергии, однако Бору пришлось вводить постулат, а квантовой механике это решение получается из уравнения Шредингера.

Ур-ю Шр. удовлетворяет собственная функция Ψ(r,Θ,φ)

Эта функция определяется тремя квантовыми числами:

n-главное кв.ч.

l-орбитальное кв.ч.

m_l-магнитное кв.ч.

nопределяет энергетические уровни электрона в атоме и принимает значения 1,2,3,… из решения Ур-я Шр. следует, что момент импульса электрона квантуется иL_l=Ћ

, где l–орбитальное квантовое число, которое при заданномn, принимает значения 0,1,2,…,(n-1), т.е. всего имеетnзначений.

Из решения уравнения Шр. следует, что вектор момента импульса может иметь только такие ориентации в пространстве, при которых его проекция на направление внешнего магнитного поля, обычно совпадающего с осью z, имеет только квантованные значения:

L_zl=Ћm_l, гдеm_l– магнитное квантовое число, которое может принимать значения, т.е. всего (2l+1) значений.

И хотя энергия электрона зависит только от nи обратно пропорциональнаn², но каждому кроме первого, соответствуют несколько собственных функцийΨ(n,l, m_l), которые отличаютсяlиm.

Следовательно атом водорода может иметь одно и тоже значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях и т.к. при данном nорбитальное квантовое числоlизменяется от 0 доn-1, а каждомуlсоответствует 2l+1 разныхml, то общее число различных состояний, соответствующих одному главному квантовому числуnравно

)=n²

Состояние называется вырожденным, если одному и тому значению энергии соответствуют различные волновые функции.

Число этих функций, которые отвечают данному значению энергии, называется кратностью вырождения.

Квантовые числа и их значения являются следствием решения Ур-я Шр., а также условий однозначности, непрерывности и конечности, налагаемых на пси-функцию. В квантовой механике каждому энергетическому состоянию соответствует своя волновая функция, квадрат модуля которой определяет вероятность нахождения электрона в разных частях атома.

Электрон при своём движении как бы размазан по всему объёму, образуя электронное облако, плотность которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных частях атомного объёма.

Квантовые числа nиlхарактеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое числоmхарактеризует ориентацию этого облака в пространстве. В атомной физике состояние электрона характеризует квантовым числомl=0, называетсяs-состоянием

l=1 этоp-состояние

l=2 этоd–состояние

l=3 этоf-состояние

Значения главного квантового числа nуказывается перед условным обозначением орбитального квантового числа.

например при n=2 иl=0 обозначение 2S

n=2 иl=1 обозначение 2p

Квантовые числа позволяют более полно описать спектры испускания и поглощения атома водорода, полученные из теории Бора. В квантовой механике вводится правило отбора, ограничивающее число возможных переходов электрона в атоме, и эти переходы связаны с испусканием и поглощением света. Для nне существует правило отбора. Изменение орбитального кв.числаl: ∆l=±1(только на соседние), ∆ m_l=0;±1.

Рассмотрим с этих точек зрения спектральные линии атома водорода.