§ 4.9. Примеры решения задач

При решении задач на применение молекулярно-кинетической теории идеального газа используются основное уравнение кинетической теории газов в форме (4.4.9) или (4.4.10) и вытекающие из него выражения для средней кинетической энергии молекул (4.5.5) и средней квадратичной скорости (4.7.2) или (4.7.3). Значительное количество задач удобно решать, используя формулу (4.5.6), связывающую давление газа с концентрацией молекул и абсолютной температурой. Внутренняя энергия идеальных одноатомных газов (например, инертных газов) вычисляется по формуле (4.8.1).

Задача 1

Чему равна масса газа, содержащегося в закрытом цилиндре вместимостью V = 0,5 л, если давление газа р = 5 • 10⁵ Па, а средняя квадратичная скорость молекул v = 500 м/с?

Решение. Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории

где р = т₀п — плотность газа. Но р = , гдет — масса газа, а V — его объем. Поэтому

Откуда

Задача 2

В воздухе при t = 27 °С взвешены пылинки сферической формы. Радиус пылинок r = 10^-6 м. Плотность вещества пылинок р = 1,3 • 10³кг/м³. Определите средний квадрат скорости пылинок.

Решение. Пылинки принимают участие в броуновском движении. Средний квадрат скорости пылинки

где т_б — масса пылинки. Следовательно,

Задача 3

В сосуде находится 1 л воды при температуре 27 °С. Каким стало бы давление внутри сосуда, если бы силы взаимодействия между молекулами внезапно исчезли?

Решение. При исчезновении сил взаимодействия между молекулами вода превратилась бы в идеальный газ. Давление можно найти по уравнению состояния идеального газа:

Задача 4

Два сосуда, содержащих различные газы, соединены трубкой с краном. Давление газа в первом сосуде р₁, а число молекул N₁. Давление газа во втором сосуде р₂, число молекул N₂. Какое давление установится в сосудах, если открыть кран соединительной трубки? Температуру считать постоянной.

Решение. Согласно формуле (4.5.6)

где

(здесь V₁ и V₂ — объемы сосудов). Следовательно,

После того как кран будет открыт, давления выравняются и искомое давление согласно той же формуле (4.5.6) определится уравнением:

Подставляя сюда выражения для объемов из предыдущих формул, получим:

Задача 5

Плотность газа в баллоне газополной электрической лампы р = 0,9 кг/м³. При горении лампы давление в ней возросло с р₁ = 8 • 10⁴ Па до р₂ = 1,1 • 10⁵ Па. На сколько увеличилась при этом средняя квадратичная скорость молекул?

Решение. Плотность газа р = т₀п, и основное уравнение молекулярно-кинетической теории можно записать в форме

Поэтому

откуда