Среднее значение квадрата скорости

Нас будет интересовать средний квадрат проекции скорости. Он находится так же, как квадрат модуля скорости (см. выражение (4.1.2)):

(4.3.2)

Скорости молекул принимают непрерывный ряд значений. Определить точные значения скоростей и вычислить среднее значение (статистическое среднее) с помощью формулы (4.3.2) практически невозможно. Определим несколько иначе, более реалистично. Обозначим черезп₁ число молекул в объеме 1 см³, имеющих проекции скоростей, близкие к v_1х; через п₂ — число молекул в том же объеме, но со скоростями, близкими к v_kx, и т. д.* Число молекул со скоростями, близкими к максимальной v_kx, обозначим через n_k (скорость v_kx может быть сколь угодно велика). При этом должно выполняться условие: п₁ + п₂ + ... + n_i + ... + n_k = п, где п — концентрация молекул. Тогда для среднего значения квадрата проекции скорости вместо формулы (4.3.2) можно написать следующую эквивалентную формулу:

* О том, как эти числа могут быть определены, будет рассказано в §4.6.

(4.3.3)

Так как направление X ничем не отличается от направлений Y и Z (опять-таки из-за хаоса в движении молекул), справедливы равенства:

(4.3.4)

Для каждой молекулы квадрат скорости равен:

Значение среднего квадрата скорости, определяемое так же, как средний квадрат проекции скорости (см. формулы (4.3.2) и (4.3.3)), равно сумме средних квадратов ее проекций:

(4.3.5)

Из выражений (4.3.4) и (4.3.5) следует, что

(4.3.6)

т. е. средний квадрат проекции скорости равен среднего квадрата самой скорости. Множительпоявляется вследствие трехмерности пространства и, значит, существования трех проекций у любого вектора.

Скорости молекул беспорядочно меняются, но среднее значение проекций скорости на любое направление и средний квадрат скорости — вполне определенные величины.