Средние по времени и статистические средние

Перед статистической механикой стоит задача определения средних значений любых функций координат и скоростей молекул без вычисления зависимости этих величин от времени. Посмотрим, как в принципе можно решить эту задачу на примере вычисления среднего значения квадрата скорости v² молекулы газа, от которого зависит ее средняя кинетическая энергия (знак «~» сверху означает усреднение по времени).

Допустим, что в сосуде с газом, температура которого поддерживается постоянной, имеется достаточно большое число N молекул. Выделим мысленно одну из них. Если произвести ряд последовательных измерений скорости данной молекулы в моменты времени t₁, t₂, t₃ и т. д. через малые одинаковые промежутки времени (рис. 4.1, а), проделав достаточно большое число N₁ измерений (в принципе это возможно), то среднее по времени значение квадрата скорости можно записать так:

(4.1.1)

Это простое арифметическое среднее.

Далее очевидно, что все N молекул газа находятся в одинаковых макроскопических условиях. Ни одна из них не выделяется в смысле характера своего поведения среди других. Поэтому средний квадрат скорости газовой молекулы можно определить и по-другому. Пусть одновременно измерены скорости v₁, v₂, ... v_N всех молекул (рис. 4.1, б). Тогда средний квадрат скорости молекулы равен среднему арифметическому квадратов скоростей всех молекул газа в данный момент:

(4.1.2)

а) б)

Рис. 4.1

Определенное так среднее значение квадрата скорости называется статистическим средним (или средним по совокупности) в отличие от среднего по времени значения квадрата скорости .

Основное допущение, которое принимается в статистической механике, состоит в том, что среднее по времени совпадает со статистическим средним. В рассмотренном простом случае такое допущение представляется достаточно естественным. Оно предполагает полный хаос в движении молекул, когда все они в общем ведут себя одинаково. Теория строится так, чтобы она позволяла определять статистические средние, так как задача непосредственного вычисления временных средних заведомо невыполнима.