logo
Метод_1

2. Моделирование генератора, нагрузки и отрезка радиочастотного кабеля

Высокочастотный генератор гармонических колебаний мощ-ностью Pг и внутренним сопротивлением Rг можно заменить эквивалентными автономными сосредоточенными двухполюсниками, состоящими либо из последовательно включенных источника гармонического напряжения U0г и резистора сопротивлением Rг (рис. 12, a), либо из параллельно включенных источника гармонического тока Iкг и резистора проводимостью (рис. 12, б) с комплексными характеристиками

, (2.1)

(2.2)

и соответственно

с

с

а б

с

с

с

с

в г

Рис. 12. Схемы замещения

Внимание! Под значением мощности Pг в более узком смысле понимают значение мощности генератора, отдаваемой им в согласованную нагрузку (рис. 12, в и г). Если, например, генератор моделируется активным двухполюсником с источником напряжения (рис. 12, в), то его мощность Pг, очевидно, равна

. (2.3)

Отсюда напряжение холостого хода активного двухполюс- ника U0г

. (2.4)

По принципу дуальности значение тока короткого замыкания активного двухполюсника Iкг подсчитывается по формуле

. (2.5)

Рис. 13. Нагрузка кабеля

Сосредоточенная нагрузка отрезка кабеля в установившемся гармоническом процессе моделируется неавтономным сосредоточенным двухполюсником (рис. 13) с комплексными характеристиками

(2.6)

и

, (2.7)

причем .

Кстати, из выражений (2.4), (2.5) легко обнаружить, что

. (2.8)

с,

с

с

Рис. 14. Схема отрезка

радиочастотного кабеля

Наконец, отрезок радиочастотного кабеля моделируется отрезком однородной линии той же длины, характеристическое сопротивление Rc которой равно волновому сопротивлению кабеля (рис. 14). Выделим одно из двух направлений вдоль отрезка однородной линии, совместив его с направлением положительной потребляемой мгновенной мощности в произвольном сечении отрезка. Таким образом, одна пара полюсов отрезка линии (на рис. 14 – левая) окажется началом (входом) отрезка, а противоположная пара полюсов – его концом (выходом). Направления напряжения и тока в любом сечении отрезка, включая его границы, согласуют с выбранным направлением положительной мощности в этом сечении. Начало отсчета координат можно совместить, в принципе, с любым сечением отрезка линии. Однако, если ограничиться положительными значениями координаты сечения на интервале [0, l], то начало их отсчета придется совместить с одной из границ отрезка. Ради будущего удобства записи характеристик отрезка линии выберем координатную ось 0x (0  x  l), направленную против положительного направления потока мощ-ности (см. рис. 14). При этом x = l относится к началу отрезка линии, а x = 0 – к его концу. Комплексы действующих значений напряжения и тока в произвольном сечении отрезка с координа- той x обозначают как U(x) и I(x). Тогда в начале отрезка линии (x = l) имеем соответственно U(l) и I(l), а в конце его (x = 0) – U(0) и I(0). Последние две пары величин иногда для краткости обозначают как U1, I1 и U2, I2.

Комплексные характеристики участка конечного отрезка однородной линии известны (см., например, [1]) и здесь не приводятся.

Однородная линия определяется двумя характеристическими параметрами: характеристическим сопротивлением Zc (здесь Zc = Rc = Rг) (или характеристической проводимостью ) и постоянной (коэффициентом) распространения =  + j. Значения  и  отрезка линии определятся после анализа соответствующих величин отрезка выбранного кабеля.

При заданном значении частоты f значение коэффициента затухания электромагнитной волны в линии  в дБ/м находится из соответствующего графика частотных зависимостей выбранного кабеля (как, например, на рис. 10).

Если в согласованном режиме значение мощности, потребляемой отрезком кабеля, пренебрежимо мало в сравнении со значением мощности генератора (коэффициент полезного действия отрезка кабеля близок к 100 %), то его можно удовлетворительно моделировать отрезком однородной линии без потерь той же длины. Применение такой довольно грубой модели оправдано, если затухание отрезка кабеля l в согласованном режиме не превышает 0.045 Нп; при этом с погрешностью не более 5 %.

Коэффициент фазы (волновое число)  обратно пропорционален длине электромагнитной волны в кабеле 

, (2.9)

которая в kу* раз короче электромагнитной волны в вакууме 0, длина последней, как известно, определяется по формуле

, (2.10)

где c – скорость электромагнитной волны в вакууме, округленное значение которой принимается равным 3108 м/с.

Значение коэффициента укорочения длины волны в кабеле kу приводится в справочном приложении к стандарту на выбранную марку кабеля.

3. Расчет распределения действующих

значений (огибающих) напряжения И ТОКА

вдоль нагруженного отрезка линии

без потерь

В общем случае исходными являются выражения с экспоненциальными функциями мнимого аргумента, определяющие комплексы действующих значении напряжения U(x) и тока I(x)

, Rc = Rг

Рис. 15. Схема нагруженного отрезка линии

в произвольном сечении с координатой x (0  xl), отсчитываемой от конца отрезка линии без потерь (рис. 15):

, (3.1)

, (3.2)

где через Uп(x) и Iп(x) обозначены комплексы действующих значений напряжения и тока соответствующих прямобегущих волн

в том же сечении:

и , (3.3)

причем

и . (3.4)

Вычисляя модули выражений U(x) и I(x), после несложных преобразований получаем искомые функция распределений U(x), I(x) (огибающих волн напряжения u(x, t) и тока i(x, t)):

, , 3.5)

где

, (3.6)

– (3.7)

выражения распределений нормированных (соответственно на Uп2 и Iп2 действующих значений напряжения и тока вдоль отрезка

линии)*.

Значения постоянных интегрирования Uп2 и Iп2 в (3.5) определяются из граничных условий для начала отрезка линии (x = l ). Напомним, как это делается. Предположим, что известны действующие значения напряжения U(l) и тока I(l) в начале отрезка линии:

, . (3.8)

Из этих выражений без труда находятся значения постоянных интегрирования Uп2 и Iп2. Но можно обойтись и без их вычис-лений.

Исключая из выражений (3.5) и (3.8) неизвестные значения Uп2 и Iп2, получаем

, . (3.9)

Впрочем, для расчета распределений U(x) и I(x) достаточно знать значение всего лишь одной из этих величин в начале отрезка линии.

Так, если известно только значение U(l), то искомые распределения находят по формулам, получаемым показанным образом:

, . (3.10)

Аналогичным образом (либо по дуальности последним выражениям) выводятся формулы распределений U(x) и I(x) при известном значении I(l):

, . (3.11)

Для расчета граничных значений U(l), I(l) цепи с одним отрезком регулярной линии (рис. 16, а) поступают следующим образом.

Нагруженный отрезок однородной линии без потерь длиной l заменяют эквивалентным сосредоточенным пассивным двухполюсником с комплексными характеристиками

(3.12)

и

, (3.13)

причем . Значение сопротивления Z(l) нагруженного отрезка вычисляют либо по формуле в тригонометрических функциях:

, (3.14)

либо по формуле с экспоненциальными функциями мнимого аргумента

, (3.15)

при x = l.

Из эквивалентной последовательной схемы (рис. 16, б), полагая для простоты равным нулю значение начальной фазы задающего напряжения u0(t) ( ), нетрудно найти значения ис-

комых величин U(l), I(l) в начале отрезка линии:

, . (3.16)

Из эквивалентной параллельной схемы (рис. 16, в), дуальной предыдущей, имеем соответственно дуальные же формулы для I(l), U(l):

, , (3.17)

в которых .

, Rc = Rг

c

а

c

c

б в

Рис. 16. Схема замещения нагруженной линии

без потерь

Модули этих величин U(l), I(l) и используются в последующем расчете распределений действующих значений напряжения U(x) и тока I(x) вдоль отрезка однородной линии (при 0  xl).

Попробуйте доказать, что значения постоянных интегрирования Uп2 и Iп2 в выражениях (3.5) распределений напряжения U(x) и тока I(x) равны:

, . (3.18)

Графики распределений действующих значений напряжения и тока вдоль отрезка однородной линии без потерь при произвольной нагрузке приводятся практически во всех учебниках и учебных пособиях по ОТЦ.

Этот раздел курсовой работы завершается составлением таблицы значений U(x), I(x) на интервале [0, l] с шагом x не более /16 и построением совмещенных графиков распределений U(x), I(x) вдоль нагруженного отрезка линии на том же интервале.

4. Расчет распределений вещественной

и мнимой составляющих комплексного

сопротивления или проводимости

вдоль нагруженного отрезка линии

Для последующей иллюстрации идеи согласования последовательным шлейфом рекомендуется рассчитать распределения вещественной R(x) и мнимой X(x) составляющих комплексного сопротивления Z(x). При согласовании параллельным шлейфом следует вычислить распределения вещественной G(x) и мнимой B(x) составляющих комплексной проводимости Y(x). Для согласующего устройства в виде четвертьволнового трансформатора (см. рис. 1) можно найти распределения составляющих как сопротивления Z(x), так и проводимости Y(x).

Из формулы (3.15) можно получить

, (4.1)

. (4.2)

Выражения распределений G(x) = Re Y(x) и B(x) = Im Y(x) формально получаются из последней пары формул заменой входящих в них идентификаторов на дуальные и  на – :

, (4.3)

. (4.4)

Качественные графики распределений составляющих сопротивления и проводимости вдоль отрезка однородной линии без потерь при произвольной нагрузке приводятся в учебной литературе по ОТЦ.

Результаты расчетов распределений вещественной и мнимой составляющих сопротивления или проводимости (в зависимости от способа последующего согласования) вдоль отрезка кабеля на интервале [0, l] следует оформить в соответствии с рекомендациями в конце предыдущего раздела этого методического пособия.

Для согласующего устройства в виде четвертьволнового трансформатора (рис. 1) рекомендуется указать точками на оси 0x графиков R(x), X(x) или G(x), B(x) координаты двух сечений отрезка линии, ближайших к его концу, подходящих для включения согласующего трансформатора. При согласовании нагрузки с отрезком линии при помощи шлейфа желательно указать точками на оси 0x графиков R(x), X(x) (рис. 6 и 7) или G(x), B(x) (рис. 8 и 9) координаты двух сечений отрезка линии, ближайших к его концу, пригодных для включения согласующего шлейфа.

В заключение для контроля верности расчетов следует сравнить между собой значения сопротивления Z(l) (проводимости Y(l)) в начале отрезка линии и сопротивления Zн (проводимости Yн) пассивной нагрузки с составляющими соответствующих величин в начале (x = l) и в конце отрезка линии (x = 0).

5. Расчет распределений вещественной

и мнимой составляющих потребляемой

комплексной мощности

вдоль нагруженного отрезка линии

Получим сначала выражение потребляемой комплексной мощности PSп(x) в сечении с координатой x (0  xl) конечного отрезка однородной линии:

.

С учетом линейной взаимосвязи U(x) и I(x)

и ,

имеем

.

Среднее значение потребляемой мощности за период Т = 1/fr в произвольном сечении отрезка линии с координатой x – распределение значений потребляемой активной мощности Pп(x) – вычисляется по формуле

.

Значения активной мощности Pп(x) в любом сечении отрезка линии без потерь должны, очевидно, совпадать в пределах оговоренной в работе точности вычислений и, конечно, окажутся меньше указанного в задании значения мощности генератора Pг.

Распределение значений потребляемой реактивной мощности Qп(x) в произвольном сечении отрезка с координатой x определяется выражением:

.

Результаты расчетов распределений значений активной Pп(x) и реактивной Qп(x) мощностей вдоль отрезка линии на интервале [0, l] следует оформить в соответствии с рекомендациями п. 3 этого методического пособия.

Примечание. Можно показать (см., например, [1]), что в явном виде распределения значений активной Pп(x) и реактивной Qп(x) мощностей вдоль отрезка линии на интервале [0, l] определяются выражениями:

,

.