2.2 Волны пластической деформации

2.2.1 Постановка задачи

Необходимо получить уравнение с безразмерными величинами, определить координаты особых точек. Найти показатели Ляпунова для особых точек, определить характер их устойчивости. Построить фазовые портреты системы.

2.2.2 Получение уравнений с обезразмеренными величинами.

Исследуемая система уравнений имеют вид

(2.24)

(2.25)

Введем безразмерное напряжение , время , а также параметры , , >1. Тогда система уравнений (2.1), (2.2) принимает вид

(2.26)

. (2.27)

Здесь все величины не имеют размерностей, следовательно, система была вполне успешно обезразмерена.

2.2.3 Определение координат особых точек

Поскольку аналитически получить точные зависимости из системы нелинейных дифференциальных уравнений (2.26), (2.27) не представляется возможным, проведем ее качественное исследование методом фазовой плоскости. Такой анализ дает возможность определить характер фазовых траекторий, совокупность которых с различными начальными координатами определяет фазовый портрет системы. Точный его вид найдем путем численного интегрирования системы уравнений (2.26), (2.27).

Разделив почленно уравнение (2.26) на (2.27), получаем дифференциальное уравнений первой степени

. (2.28)

Используя (2.28), найдем особые точки фазовой плоскости, т.е. точки в которых направление касательной к фазовой траектории не определено. Для этого запишем систему уравнений :

(2.29)

. (2.30)

Эта линейная система уравнений имеет одно решение. Для удобства запишем его таким образом: где

. (2.31)

2.2.4 Нахождение показателей Ляпунова для особых точек. Определение характера особых точек.

1) точка . Положим в уравнениях (2.26) и (2.27) , и приравняем левые части к нулю.

В итоге получим:

= , (2.32)

(2.33)

где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малым смещениям и . Условие разрешимости системы имеет вид:

,

D = (2.34)

=.

где

= (2.35)

= (2.36)

Таким образом, видимо, что характер поведения определяется величиной параметра Если параметр лежит в интервале:

, (2.37)

то особая точка будет устойчивым фокусом, следовательно, возможны колебания.

Система имеет тенденцию проявлять максимально колебательное поведение во времени при убывании и возрастании остальных параметров. Максимальное отношение частоты к коэффициенту затухания реализуется в предельных условиях когда , а остальные параметры стремятся к бесконечности. Однако даже при таких оптимальных условиях частота не превышает обратного времени затухания. Что значит, что фазовый переход невозможен и волны пластической деформации практически нереализуемы.

2.1.6 Построение фазовых портретов

Для построения фазовых портретов были использованы слабый численный метод Рунге-Кутта 4 порядка точности. Среда реализации - математический пакет Matlab. Для получения данных, численно интегрировалась обезразмеренная система дифференциальных уравнений (2.26), (2.27). Полученные результаты изображены на рис. 2.3-2.4

Рисунок 2.3. -- Фазовый портрет системы с волнами пластической деформации: типичная картина поведения.

Рисунок 2.4. -- Фазовый портрет системы с волнами пластической деформации: оптимальный режим поведения.