6. Символический метод расчета цепей переменного тока

Для цепи переменного тока с последовательным соединением R, L, C (рис.11) дифференциальные уравнения по второму закону Кирхгофа имеют вид:

, .

Расположим под углом _u относительно оси абсцисс вектор U_m, длина которого в масштабе равна амплитуде изображаемой величины. Положительные углы будем откладывать в направлении против часовой стрелки.

Система векторов на комплексной плоскости называется векторной диаграммой. Вектора вращаются относительно центра координат с одной и той же скоростью и поэтому относительно друг друга их положение не меняется. Векторная диаграмма изображается неподвижной в заданный момент времени, определяемый начальной фазой какой-либо величины, например, для идеальных элементов R, L, C (рис.13).

Сложение двух функций в тригонометрической форме трудоемко, но легко производится в векторной форме (рис.14).

1) алгебраическая ;

2) тригонометрическая

;

; ;

3) показательная ;

; ; .

Символ j перед мнимой частью комплексного числа в алгебраической форме означает, что мнимая часть повернута по отношению к вещественной на угол 90 в положительном направлении (против часовой стрелки).

Переходы из одной формы записи в другие:

,

где , ;

,

где , .

Представленная ранее система дифференциальных уравнений для цепи переменного тока с R, L, C в комплексном виде записывается следующим образом:

;

;

.

Используя выражения , , запишем выражение для полного напряжения цепи:

,

где – комплексное сопротивление;  – комплексная амплитуда напряжения; – комплексная амплитуда тока.

При замене амплитудных значений на действующие получим закон Ома в комплексной форме:

.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

.

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

.

Векторная диаграмма напряжений для цепи (см. рис.11) будет представлять собой прямоугольный треугольник (рис.15),

; ;

; .

; ;

; ;

; .

В треугольниках напряжений, токов, сопротивлений и мощностей угол  сохраняет свое значение.

При параллельном соединении ветвей (рис.18) их проводимости складываются в комплексной форме:

;

; ; .

.