Тема 14. Прохождение случайного сигнала через нелинейное звено. Статистическая линеаризация нелинейностей

1. Какими веоятностными моментами определяется полностью стационарный случайный процесс при нормальном законе распределения плотности вероятности?

- При нормальном законе распределения случайный процесс полностью определяется первыми двумя моментами– математическим ожиданием (средним значением0 и дисперсией (средне-квадратическим отклонением).

2. Какими вероятностными моментами полностью определяется случайный сигнал на выходе линейной стационарной системы при нормальном законе распределения стационарного случайного сигнала на ее входе?

- Первыми двумя вероятностными моментами.

3. В чем особенности прохождения стацонарного случайного сигнала через нелинейное звено в отличие от линейного?

- В отличие от линейного нелинейное звено искажает спектр входного случайного сигнала.

4. Каким образом наличие нелинейного элемента (например, типа «насыщение) в замкнутой автоматической системе может существенно влиять на ее динамические свойства по полезному сигналу под действием случайных помех?

- Помехи уменьшают полезный сигнал на выходе нелинейного элемента, что эквивалентно уменьшению коэффициента передачи нелинейного элемента. С увеличением уровня помех в большей степени ослабляется полезный сигнал, вплоть до его подавления. Наличие такого элемента может существенно менять динамические свойства по полезному сигналу под действием случайных помех вплоть до возможной потери устойчивости в целом.

5. Когда при исследовании нелинейных систем возможно применение линейной теории случайных процессов?

- Когда в нелинейной системе протекают медленно меняющиеся стационарные случайные процессы, линейная ее часть обладает свойством фильтра низких частот и существенно нелинейные характеристики могут быть сглажены, а затем и линеаризованы.

6. Почему при статистическом исследовании нелинейных САУ недостаточно знать только два первых вероятностных момента случайного входного стгнала, чтобы вычислить соответствующие моменты выходного сигнала?

- Поскольку при прохождении через нелинейное звено искажается закон распределения случайного входного процесса. Даже в случае, если закон распределения входной случайной функции нормальный, закон выходной функции отличается от нормального. Чтобы вычислить соответствующие моменты выходного сигнала нелинейного звена необходимо знать закон распределения или его высшие моменты.

7. К чему может привести невыполнение принципа суперпозиции для нелинейных систем при одновременном воздествии на систему, например, полезного регулярного сигнала и случайной помехи?

- Из-за нелинейного прелбразования этих сигналов помеха может значительно уменьшить эффект действия полезного сигнала. Так, например в случае нелинейности типа «насыщение», увеличение уровня помех, определяемого дисперсией случайного входного сигнала, уменьшает полезный сигнал на выходе нелинейного элемента, что эквивалентно уменьшению коэффициента преобразования нелинейного элемента.

8. Какие из приближенных методов статистического исследования нелинейных систем, нашедших наиболее широкое распространение, Вы можете назвать?

- Метод непосрественной линеаризации; метод статистических испытаний; методы, основанные на представлении сигналов в виде марковских процессов; методы на основе канонического разложения случайных сигналов.

9. На какой идее основан метод статистической линеаризации нелинейностей?

- На приближенной замене нелинейного преобразования процессов, происходящих в системе, статистически эквивалентными им линейными преобразованиями. При этом нелинейный элемент заменяется статистически эквивалентным линейным элементом.

10. В каком вероятностном смысле достигается эквивалентность замены нелинейных характеристик линейными зависимостями на основе метода статистической линеаризации?

- Эквивалентность достигается по первым двум вероятностным моментам случайных функций, т.е. по их средним значениям и дисперсиям.

11. В чем суть метода статистических испытаний (метод Монте-Карло)?

- Суть сводится к многократному испытанию системы или ее модели (мтематической или физической) под воздействием случайных сигналов. Вероятностные характеристики получаются в результате статистической обработки наблюдаемых данных о переменных системы.

12. В чем суть метода, основанного на представлении сигналов в виде марковских процессов?

- рассматривая выходной сигнал нелинейной системы как марковский процесс, можно использовать аппарат дифференциальных уравнений в частных производных для определения плотности вероятности его координат. Задача исследоания сводится к решению многомерного уравнения Колмогорова.

13. В чем суть метода, основанного на применении канонического разложения случайных сигналов?

- Случайный процесс представляется в виде суммы детерминированных функций времени со случайными коэффициентами. Задача анализа по существу сводится к интегрированию нелинейных дифференциальных уравнений.

14. Какой закон распределения сигнала на входе нелинейного элемента принмается при вычислении статистческих методом статистической линеаризации и почему?

- Принимают закон распределения нормальным, т.к. линейная часть системы обычно инерционная с узкой полосой пропускания и обладающая нормализующими свойствами. Кроме того коэффициенты статистической линеаризации малокритичны к изменению формы закона распределения входного сигнала.

15. Какие критерии статистической эквивалентности положены в основу метода статистической линеаризации?

- 1 - критерий равенства математического ожидания и дисперсии случайного процесса на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного элемента;

- 2 - критерий минимума математического ожидания квадрата разности случайных процессов навыходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного элемента .

16. Каким образом можно эквивалентно представить в общем случае нелинейный безинерционный элемент, используя критерий равенства математического ожидания и дисперсии случайного процесса на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного элемента?

- двумя безинерциоными элементами: нелинейным по математическому ожиданию и линейным по случайной центрированной составляющей.

17. Каким образом можно эквивалентно представить нелинейный безинерционный элемент, имеющий нечетну характеристику, используя критерий равенства математического ожидания и дисперсии случайного процесса на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного элемента?

- В этом случае нелинейный элемент можно эквивалентно заменить двумя линейными безинерционными элементами.

18. Чем обусловлены ограничения в использовании метода статистической линеаризации?

- требованиями нормального закона распределения случайного процесса на входе нелинейного элемента.

19. Когда требования нормального закона распределения случайного процесса на входе нелинейного элемента при использовании метода статистической линеаризации выполняются наиболее хорошо?

- В том случае, когда линейная часть обладает свойствами фильтра низких частот.

20. При исследовании каких режимов работы САУ особенно эффективен метод статистической линеаризации?

- При анализе стационарных режимов работы САУ.

21. От чего зависит точность метода статистической линеаризации при расчете нелинейных САУ?

- Точность метода статистической линеаризации тем выше, чем уже полоса пропускания линейной части нелинейных САУ и чем больше плотность вероятности на входе нелинейного элемента приближается кк нормальной.

22. Каковы ограничения на применение метода статистической линеаризации?

- метод статистической линеаризации применим только к системам, в которых невозможны автоколебания.

23. Какие рекомендации могут быть высказаны по выбору метода исследования нелинейных систем, если в ней возможно возникновение автоколебаний?

- целесообразно применить совместно статистическую и гармоническую линеаризации.