2.1.3 Определение координат особых точек

Поскольку аналитически получить точные зависимости из системы нелинейных дифференциальных уравнений (2.3), (2.4) не представляется возможным, проведем ее качественное исследование методом фазовой плоскости [4]. Такой анализ дает возможность определить характер фазовых траекторий, совокупность которых с различными начальными координатами определяет фазовый портрет системы. Точный его вид найдем путем численного интегрирования системы уравнений (2.3), (2.4).

Разделив почленно уравнение (2.3) на (2.4), получаем дифференциальное уравнений первой степени

. (2.5)

Используя (2.5), найдем особые точки фазовой плоскости, т.е. точки в которых направление касательной к фазовой траектории не определено. Для этого запишем систему уравнений :

 (2.6)

. (2.7)

Эта линейная система уравнений имеет три решения. Следовательно, имеем три критические точки: О(0,0); S(0,1);F(.

2.1.4 Нахождение показателей Ляпунова для особых точек. Определение характера особых точек.

1) точка O (0,0). Положим в уравнениях (2.3) и (2.4) , и приравняем левые части к нулю.

В итоге получим:

= , (2.8)

(2.9)

где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малым смещениям и . В результате получим

(2.10)

(2.11)

Условие разрешимости системы имеет вид:

,

D = (2.12)

=.

Таким образом видимо, что корни рациональны и имеют разные знаки. Следовательно точка О является седлом.

2) Точка . Положим в уравнениях (2.3) и (2.4) , и приравняем левые части к нулю.

В итоге получим:

= , (2.13)

(2.14)

где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малым смещениям и . В результате получим

(2.15)

(2.16)

В итоге ляпуновские показатели для точки S будут следующими:

=. (2.17)

Таким образом видно, что корни также рациональны и имеют разные знаки. Следовательно, точка S является седлом.

2) Точка . Положим в уравнениях (2.3) и (2.4) , и приравняем левые части к нулю.

В итоге получим:

= , (2.18)

(2.19)

где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малым смещениям и . В результате получим

(2.20)

(2.21)

В итоге ляпуновские показатели для точки S будут следующими:

=. (2.22)

Проведем анализ полученных результатов. С учетом того, что в формуле (2.22) присутствует радикал то можно сделать вывод, что при значениях параметра, ограниченных сверху величиной

=, (2.23)

ляпуновские показатели вещественны и отрицательны а с ростом до значений превышающих критическое, они становятся комплексными с отрицательной действительной частью. Следовательно, в этих пределах точка F представляет устойчивые узел и фокус соответственно.

Можно сделать вывод, что системы, в которых предпочтителен колебательный режим реализуются, если интенсивность процессов аннигиляции жертвы мала по сравнению с интенсивностью процесса ее поглощения хищником. С другой стороны, характерное время автономной эволюции хищника должно быть малым в сравнении с соответствующим временем для жертвы.