2.7. Переходные процессы в цепях постоянного тока

В общем случае для цепи, содержащей источники ЭДС е_i, сопротивления R_i индуктивности L_i, и емкости C_i , для определения искомого тока i записывают линейное однородное дифференциальное уравнение в соответствии со вторым законом Кирхгофа для данного контура:

Ток, являющийся общим решением этого уравнения представляют в виде двух составляющих: i(t) = i_ПР(t) + i_СВ(t)

где i_СВ(t) — свободный ток — составляющая, действующая лишь, в переходном режиме;

i_ПР(t) — принужденный ток — составляющая, действующая в установившемся режиме.

Ток i_СВ(t) получают, как частное решение этого уравнения со свободным членом при t = .

Т ок i_ПР(t) получают как общее решение уравнения без свободного члена.

Приведем примеры решений для некоторых типовых цепей.

Пример 1. Включение цепи, содержащей последовательно соединенные резистор сопротивлением R и индуктивность L, на постоянное напряжение U (рис. 2.2): (1)

Принужденная составляющая тока (2)

Уравнение без свободного члена (3)

Его характеристическое уравнение Lp+R=0; p=-R/L

О бщее решение уравнения (3)

Общее решение уравнения (1) (4)

Постоянную А находят из (4), полагая, что i(0-) = 0 в схеме до коммутации и в схеме после коммутации i(0₊) = 0 , так как ток в индуктивности не может изменяться скачком при t = 0:

, откуда

Р ешение уравнения (1) или, полагая (постоянная времени),

Пример 2. При включении цепи, содержащей последовательно соединенные резистор с сопротивлением R и конденсатор С, на постоянное напряжение U (рис. 2.4), ее уравнение имеет вид: u_C(t)+Ri(t)=U

где i(t)— ток в цепи, ;

u_C(t) — падение напряжения на конденсаторе. . (5)

Решение (5) ищется в виде (6)

Характеристическое уравнение для (6) RCp+1=0;

Принужденная составляющая равна .

Решение уравнения (5)

Поскольку в начальный момент t = 0, , то А = - U, следовательно искомое решение:

где  = RC — постоянная времени цепи.