Лист задания

Вариант 12-7-4г-12

Задание 1. Разложить периодическую несинусоидальную функцию (рисунок 1) в ряд Фурье. Построить спектры амплитуд и фаз входного сигнала. Вычислить коэффициент искажения формы сигнала

Рисунок 1 - Периодическая несинусоидальная функция

Параметры функции:

Е_m=24В (максимальное значение ЭДС входного сигнала);

Е₀= -5В (значение дополнительной постоянной ЭДС);

₁=18000 рад/с (угловая частота несинусоидального сигнала);

Задание 2. Определить характеристические параметры четырехполюсника (рисунок 2) на основной частоте сигнала ₁. Построить амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) и фазо-частотные характеристики (ФЧХ) нагруженного четырехполюсника

Рисунок 2 - Четырехполюсник

Параметры элементов четырехполюсника:

R₁ = 50 Ом; Х_С1(1) = 210 Ом;

R₂ = 140 Ом; Х_С2(1) = 150 Ом;

R₃ = 60 Ом; Х_L1(1) = 20 Ом.

Задание 3. Определить коэффициент усиления К_У() из условия наименьшего ослабления основной гармоники (₁).

Задание 1

Разложить несинусоидальную периодическую функцию (рисунок 1) в ряд Фурье, построить спектры амплитуд и фаз входного сигнала и вычислить коэффициент искажения.

Период функции T=2.

Основные параметры входного сигнала:

Максимальное значение ЭДС входного сигнала E_m = 24В

Дополнительная постоянная ЭДС E₀ = -5В

Основная угловая частота несинусоидального сигнала ₁ =18000 рад/с

Чтобы разложить функцию в ряд Фурье (формула (1)) функцию ѓ(щt):

?

ѓ(щt)=A₀+?(a_ncos(nщ₁t)+b_nsin(nщ₁t)), (1)

n=1

где щ - угловая частота, рад/с;

t - время, с;

A₀ - постоянная составляющая ряда;

n - номер гармоники;

a_n - амплитуда косинусоидального члена;

b_n - амплитуда синусоидального члена ряда.

Постоянная составляющая, которая рассчитывается по формуле (2) представляет собой среднее значение функции ѓ(t) за период:

Коэффициенты a_n и b_n ряда Фурье определяются по формулам (3), (4):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

где n - номер гармоники. Ограничимся четырьмя гармониками.

Процесс разложения облегчается, если несинусоидальная функция ѓ(щt) обладает каким-либо видом симметрии:

- функция ѓ(щt) симметрична относительно координат оси ординат, то есть

ѓ(щt) = ѓ(-щt);

- функция ѓ(щt) симметрична относительно начала оси координат, то есть

ѓ(щt) = ѓ(-щt);

- функция ѓ(щt) симметрична относительно оси абсцисс при совмещении двух полупериодов, то есть

ѓ(щt) = -ѓ(щt+р);

- функция ѓ(щt) симметрична относительно оси ординат и оси абсцисс при совмещении двух полупериодов, то есть

ѓ(щt) = ѓ(-щt) = -ѓ(щt+р);

- функция ѓ(щt) симметрична относительно начала координат и оси абсцисс при совмещении двух полупериодов, то есть

ѓ(щt) = -ѓ(-щt) = -ѓ(щt+р);

Данная функция обладает двумя видами симметрии:

- функция ѓ(щt) симметрична относительно начала оси координат, то есть

(щt) = ѓ(-щt);

Тогда A₀=a_n=b_2n=0, а b_2n+1 можно определить за четверть периода по формуле (5):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Так как график функции ѓ(щt) имеет сложную форму, то для разложения в ряд Фурье используем графоаналитический метод: функция ѓ(щt) разбивается на k равных интервалов и определяются значения функции в точках разбиения. Тогда коэффициент b_n найдём по формуле (6):

Размещено на http://www.allbest.ru/

где k-число заданных точек за период, возьмём 24 точки;

p - номер точки разбиения;

ѓ_p(щt)-значение функции ѓ(щt) в точке разбиения;

Дx=2р/k-интервал между точками разбиения, Дx=15°.

Данные по разбиению функции ѓ(щt) представлены в таблице 1

Данные по разбиению функции ѓ(щt)

Вычислим коэффициент b_n на первой гармонике (n=1):

b₁=4/24•[5sin(1•1•15)+9sin(1•2•15)+11sin(3•15)+14sin(1•4•15)+18sin(5•15)+

19sin(6•5)+

+18sin(1•7•15)+14sin(1•8•15)+11sin(1•9•15)+9sin(1•10•15)+5sin(11•5)=4/24•

(1,29+4,5++7,78+12,12+17,39+19+17,39+ +12,12+7,78+4,5+1,29)=17,53

Расчёт коэффициента b_n по остальным гармоникам выполнен аналогичным способом, результаты представлены в таблице 2

Результат расчёта коэффициента b_n

Амплитуда n-ой синусоидальной гармоники определяется по формуле (7):

(7)

где А_(n) - амплитуда n-ой синусоидальной гармоники.

Начальные фазы для каждой гармоники определяются по формуле (8)

(8)

где - начальная фаза для гармоники.

Вычислим амплитуду и начальную фазу на первой гармонике:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчёт амплитуд и начальных фаз по остальным гармоникам выполнен аналогичным способом, результаты представлены в таблице 3

Расчёт амплитуд и начальных фаз

Запишем функцию f(t):

f(t)=17,53sin(t)+0,63sin(3t)+1,2sin(5t)+0,057sin(7t)

Построим график функции f(t), который является входным сигналом четырехполюсника (рисунок 4).

График чуть отличается от исходного в задании из-за погрешности восстановления сигнала, происходит это за счет искажения гармоник.

Для визуального анализа вклада каждой гармоники в формирования исходной функции построим дискретные спектры амплитуд (рисунок 5) и фаз (рисунок 6).

Рисунок 4 - График функции f(t), который является входным сигналом четырехполюсника

Рисунок 5 - Дискретные спектры амплитуд

Рисунок 6 - Дискретные спектры фаз

Вычислим коэффициент искажения формы сигнала генератора К_и по формуле (9):

К_и = A₍₁₎/A, (9)

где К_и - коэффициент искажения формы сигнала генератора,

A₍₁₎ - действующее значение основной гармоники;

A - действующее значение всех гармоник.

Рассчитаем коэффициент искажения:

A₍₁₎= 17,53

A=A₀+?1/2•A²_m(n)=17,58

К_и=17,53/2•17,58 =0,7

Задание 2

Задание 2: Определить характеристические параметры четырехполюсника (рисунок 2) на основной частоте сигнала ₁. Построить амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) и фазо-частотные характеристики (ФЧХ) нагруженного четырехполюсника.

Комплексные сопротивления четырёхполюсника (рисунок 7) для n-ой гармоники, которые рассчитываются по формулам (9), (10), (11):

Рисунок 7 - Комплексные сопротивления четырёхполюсника

(9)

где Z_(n) - комплексное сопротивление;

R - реактивное сопротивление резистора;

X_L - реактивное сопротивление катушки.

(10)

(11)

где X_С - реактивное сопротивление конденсатора.

Вычислим комплексные сопротивления четырёхполюсника на первой гармонике (n=1):

Расчет комплексных сопротивлений по остальным гармоникам выполнен аналогичным способом, результаты представлены в таблице 1 приложения А.

При исследовании передачи энергии в электрических цепях чаще всего используют форму, которая определяется по формуле (12), где входные величины U₁ (входное напряжение) и I₁ (входной ток) выражаются через выходные величины U₂ (выходное напряжение), I₂ (выходной ток) и A - параметры:

U₁=A₁₁U₂+A₁₂I₂,

I₁=A₂₁U₂+A₂₂I₂; (12)

где A₁₁=U₁/U₂ при I₂=0 - величина, обратная коэффициенту передачи по напряжению в режиме холостого хода по выходу; A₁₂=U₁/I₂ при U₂=0 - передаточное сопротивление четырёхполюсника в режиме короткого замыкания по выходу; A₂₁=I₁/U₂ при I₂=0 - передаточная проводимость в режиме холостого хода по выходу; A₂₂=I₁/I₂ при U₂=0 - величина, обратная коэффициенту передачи по току в режиме короткого замыкания по выходу.

Найдём параметры A₁₁, A₁₂, A₂₁, A₂₂ для Т - образного четырёхполюсника.

Выведем параметры A₁₁, A₂₁, которые определяются в режиме холостого хода по выходу (I₂=0). По закону Ома (формула 13) ток равен:

(13)

Найдём напряжение U₂ по формуле (14):

(14)

Выведем параметр A₁₁ по формуле (15):

(15)

Выведем параметр A₂₁ по формуле (16):

(16)

Выведем параметры A₁₂, A₂₂, которые определяются в режиме короткого замыкания по выходу (U₂=0).

По первому закону Кирхгофа (формула (17)) определим ток I₁:

(17)

Далее найдём ток I₂ и I₃ по формулам (18), (19):

(18)

(19)

Тогда ,

по закону Ома (формула (20)):

(20)

Выведем параметр A₁₂ по формуле (21):

(21)

Выведем параметр A₂₂ по формуле (22):

(22)

Вычислим параметры A₁₁, A₁₂, A₂₁, A₂₂ на первой гармонике:

Расчёт A параметров по остальным гармоникам выполнен аналогичным образом, и результаты представлены в таблице 3

Расчёт A параметров по гармоникам

Определим характеристические параметры четырёхполюсника Z_1С, Z_2C - характеристические сопротивления и g - собственную постоянную передачи.Z_1С - это входное сопротивление четырёхполюсника при нагрузке на выходе Z_2C, а Z_2С - это выходное сопротивление четырёхполюсника при нагрузке на входе Z_1С. Собственная постоянная передачи g - это параметр, позволяющий оценить передачу входного сигнала четырёхполюсником при согласованной нагрузке.

Определим характеристические сопротивления Z_1C и Z_2С на основной частоте сигнала ₁ по формулам (23), (24):

(23)

(24)

Рассчитаем собственную постоянную передачи на основной частоте ₁ по формуле (25):

(25)

В общем случае g определяется по формуле (26):

g=a+b, (26)

где a=1,034 Нп - собственная постоянная ослабления (характеризует затухание входного сигнала);

b=-0,344 рад - собственная постоянная фазы (характеризует сдвиг фазы входного сигнала).

Расчёт собственной постоянной передачи g по остальным гармоникам выполнен аналогичным образом, и результаты представлены в таблице 4

несинусоидальный амплитуда сигнал гармоника

Расчёт собственной постоянной передачи g по гармоникам

Наиболее часто для оценки передачи сигнала четырехполюсником используются передаточные функции. Передаточная функция (или коэффициент передачи) -- это отношение комплексной выходной величины (U₂ или I₂) к

комплексной входной величине (U₁ или I₁).

Модули этих комплексных отношений представляют собой АЧХ четырехполюсника, а их аргументы -- ФЧХ.

Одной из передаточных функций четырехполюсника является коэффициент передачи по напряжению , который может быть выражен через А-параметры по формуле (27):

, (27)

где Z_н - сопротивление нагрузки четырёхполюсника.

В общем случае по формуле (28)

, (28)

где K_П() - модуль K_П() (АЧХ);

() - аргумент K_П() (ФЧХ).

Определим коэффициент передачи по напряжению четырёхполюсника на первой гармонике K_П(₁):

Определим модуль коэффициента передачи по напряжению:

Определим аргумент коэффициента передачи по напряжению четырехполюсника ():

Расчёт модуля коэффициента передачи по напряжению K_П и аргумента коэффициента передачи по напряжению по остальным гармоникам выполнен аналогичным образом, и результаты представлены в таблице 5.

Расчёт модуля коэффициента передачи по напряжению K_П

Теперь построим АЧХ (рисунок 8) и ФЧХ (рисунок 9) четырёхполюсника:

Рисунок 8 - АЧХ четырехполюсника

Рисунок 9 - ФЧХ четырехполюсника

Определим коэффициент передачи сигнала по напряжению K_Г от источника с ЭДС Е_г и внутренним сопротивлением Z_г=Ом к четырехполюснику на первой гармонике по формуле (29):

(29)

Расчёт коэффициента передачи сигнала по напряжению по остальным гармоникам рассчитывается аналогично и результаты представлены в таблице 6.

Расчёт коэффициента передачи сигнала по напряжению по гармоникам

Определить коэффициент усиления K_у из условия наименьшего ослабления основной гармоники (₁) по формуле (30):

, (30)

где К_Г и К_П - модули коэффициентов передачи по напряжению генератора и четырехполюсника соответственно.

Входное сопротивление усилителя R_у равняется модулю характеристического сопротивления четырехполюсника Ом на основной частоте входного сигнала. Выходное сопротивление усилителя, в нашем случае равно нулю.

Определим напряжение U_mП(1) по формуле (31), которое подаётся на вход четырехполюсника с генератора на основной частоте сигнала:

(31)

Значения напряжения на всех гармониках рассчитываются аналогично,

Значения напряжения на гармониках

Определим напряжение на входе усилителя U_mУ по формуле (32) при нагрузке Z_2C четырехполюсника на основной гармонике:

(32)

Расчёт напряжения на входе усилителя по остальным гармоникам производится аналогичным образом, и результаты представлены в таблице 8.

Расчёт напряжения на входе усилителя по гармоникам

Вычислим напряжение на выходе усилителя, то есть напряжение на входе фильтра (U_mФ) на основной гармонике по формуле (33):

(33)

Расчёт напряжения на входе фильтра по остальным гармоникам производится аналогичным образом, и результаты представлены в таблице 9:

Расчёт напряжения на входе фильтра по гармоникам

Построим на одном графике (рисунок 10) два сигнала: 1) Входной сигнал (пунктирный); 2) Сигнал на входе фильтра (сплошной).

Рисунок 10 - Входной сигнал и сигнал на входе фильтра

Построим спектры амплитуд и фаз на входе фильтра.

Рисунок 11 - Спектры амплитуд

Рисунок 12 - Спектры фаз

Вычислим коэффициент искажения формы сигнала фильтра (на выходе усилителя) К_иФ по формуле (34):

К_иф = U_мф(1)/ U_мф (34)