Лист задания
Вариант 12-7-4г-12
Задание 1. Разложить периодическую несинусоидальную функцию (рисунок 1) в ряд Фурье. Построить спектры амплитуд и фаз входного сигнала. Вычислить коэффициент искажения формы сигнала
Рисунок 1 - Периодическая несинусоидальная функция
Параметры функции:
Еm=24В (максимальное значение ЭДС входного сигнала);
Е0= -5В (значение дополнительной постоянной ЭДС);
1=18000 рад/с (угловая частота несинусоидального сигнала);
Задание 2. Определить характеристические параметры четырехполюсника (рисунок 2) на основной частоте сигнала 1. Построить амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) и фазо-частотные характеристики (ФЧХ) нагруженного четырехполюсника
Рисунок 2 - Четырехполюсник
Параметры элементов четырехполюсника:
R1 = 50 Ом; ХС1(1) = 210 Ом;
R2 = 140 Ом; ХС2(1) = 150 Ом;
R3 = 60 Ом; ХL1(1) = 20 Ом.
Задание 3. Определить коэффициент усиления КУ() из условия наименьшего ослабления основной гармоники (1).
Задание 1
Разложить несинусоидальную периодическую функцию (рисунок 1) в ряд Фурье, построить спектры амплитуд и фаз входного сигнала и вычислить коэффициент искажения.
Период функции T=2.
Основные параметры входного сигнала:
Максимальное значение ЭДС входного сигнала Em = 24В
Дополнительная постоянная ЭДС E0 = -5В
Основная угловая частота несинусоидального сигнала 1 =18000 рад/с
Чтобы разложить функцию в ряд Фурье (формула (1)) функцию ѓ(щt):
?
ѓ(щt)=A0+?(ancos(nщ1t)+bnsin(nщ1t)), (1)
n=1
где щ - угловая частота, рад/с;
t - время, с;
A0 - постоянная составляющая ряда;
n - номер гармоники;
an - амплитуда косинусоидального члена;
bn - амплитуда синусоидального члена ряда.
Постоянная составляющая, которая рассчитывается по формуле (2) представляет собой среднее значение функции ѓ(t) за период:
Коэффициенты an и bn ряда Фурье определяются по формулам (3), (4):
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
где n - номер гармоники. Ограничимся четырьмя гармониками.
Процесс разложения облегчается, если несинусоидальная функция ѓ(щt) обладает каким-либо видом симметрии:
- функция ѓ(щt) симметрична относительно координат оси ординат, то есть
ѓ(щt) = ѓ(-щt);
- функция ѓ(щt) симметрична относительно начала оси координат, то есть
ѓ(щt) = ѓ(-щt);
- функция ѓ(щt) симметрична относительно оси абсцисс при совмещении двух полупериодов, то есть
ѓ(щt) = -ѓ(щt+р);
- функция ѓ(щt) симметрична относительно оси ординат и оси абсцисс при совмещении двух полупериодов, то есть
ѓ(щt) = ѓ(-щt) = -ѓ(щt+р);
- функция ѓ(щt) симметрична относительно начала координат и оси абсцисс при совмещении двух полупериодов, то есть
ѓ(щt) = -ѓ(-щt) = -ѓ(щt+р);
Данная функция обладает двумя видами симметрии:
- функция ѓ(щt) симметрична относительно начала оси координат, то есть
(щt) = ѓ(-щt);
Тогда A0=an=b2n=0, а b2n+1 можно определить за четверть периода по формуле (5):
Размещено на http://www.allbest.ru/
Так как график функции ѓ(щt) имеет сложную форму, то для разложения в ряд Фурье используем графоаналитический метод: функция ѓ(щt) разбивается на k равных интервалов и определяются значения функции в точках разбиения. Тогда коэффициент bn найдём по формуле (6):
Размещено на http://www.allbest.ru/
где k-число заданных точек за период, возьмём 24 точки;
p - номер точки разбиения;
ѓp(щt)-значение функции ѓ(щt) в точке разбиения;
Дx=2р/k-интервал между точками разбиения, Дx=15°.
Данные по разбиению функции ѓ(щt) представлены в таблице 1
"right">Таблица 1Данные по разбиению функции ѓ(щt)
p |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
ѓp(щt) |
5 |
9 |
11 |
14 |
18 |
19 |
18 |
14 |
11 |
9 |
5 |
0 |
Вычислим коэффициент bn на первой гармонике (n=1):
b1=4/24•[5sin(1•1•15)+9sin(1•2•15)+11sin(3•15)+14sin(1•4•15)+18sin(5•15)+
19sin(6•5)+
+18sin(1•7•15)+14sin(1•8•15)+11sin(1•9•15)+9sin(1•10•15)+5sin(11•5)=4/24•
(1,29+4,5++7,78+12,12+17,39+19+17,39+ +12,12+7,78+4,5+1,29)=17,53
Расчёт коэффициента bn по остальным гармоникам выполнен аналогичным способом, результаты представлены в таблице 2
"right">Таблица 2Результат расчёта коэффициента bn
n |
bn |
|
1 |
17,53 |
|
3 |
-0,63 |
Амплитуда n-ой синусоидальной гармоники определяется по формуле (7):
(7)
где А(n) - амплитуда n-ой синусоидальной гармоники.
Начальные фазы для каждой гармоники определяются по формуле (8)
(8)
где - начальная фаза для гармоники.
Вычислим амплитуду и начальную фазу на первой гармонике:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Расчёт амплитуд и начальных фаз по остальным гармоникам выполнен аналогичным способом, результаты представлены в таблице 3
"right">Таблица 3Расчёт амплитуд и начальных фаз
n |
|||
1 |
17,53 |
0 |
|
3 |
0,63 |
0 |
Запишем функцию f(t):
f(t)=17,53sin(t)+0,63sin(3t)+1,2sin(5t)+0,057sin(7t)
Построим график функции f(t), который является входным сигналом четырехполюсника (рисунок 4).
График чуть отличается от исходного в задании из-за погрешности восстановления сигнала, происходит это за счет искажения гармоник.
Для визуального анализа вклада каждой гармоники в формирования исходной функции построим дискретные спектры амплитуд (рисунок 5) и фаз (рисунок 6).
Рисунок 4 - График функции f(t), который является входным сигналом четырехполюсника
Рисунок 5 - Дискретные спектры амплитуд
Рисунок 6 - Дискретные спектры фаз
Вычислим коэффициент искажения формы сигнала генератора Ки по формуле (9):
Ки = A(1)/A, (9)
где Ки - коэффициент искажения формы сигнала генератора,
A(1) - действующее значение основной гармоники;
A - действующее значение всех гармоник.
Рассчитаем коэффициент искажения:
A(1)= 17,53
A=A0+?1/2•A2m(n)=17,58
Ки=17,53/2•17,58 =0,7
Задание 2
Задание 2: Определить характеристические параметры четырехполюсника (рисунок 2) на основной частоте сигнала 1. Построить амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) и фазо-частотные характеристики (ФЧХ) нагруженного четырехполюсника.
Комплексные сопротивления четырёхполюсника (рисунок 7) для n-ой гармоники, которые рассчитываются по формулам (9), (10), (11):
Рисунок 7 - Комплексные сопротивления четырёхполюсника
(9)
где Z(n) - комплексное сопротивление;
R - реактивное сопротивление резистора;
XL - реактивное сопротивление катушки.
(10)
(11)
где XС - реактивное сопротивление конденсатора.
Вычислим комплексные сопротивления четырёхполюсника на первой гармонике (n=1):
Расчет комплексных сопротивлений по остальным гармоникам выполнен аналогичным способом, результаты представлены в таблице 1 приложения А.
При исследовании передачи энергии в электрических цепях чаще всего используют форму, которая определяется по формуле (12), где входные величины U1 (входное напряжение) и I1 (входной ток) выражаются через выходные величины U2 (выходное напряжение), I2 (выходной ток) и A - параметры:
U1=A11U2+A12I2,
I1=A21U2+A22I2; (12)
где A11=U1/U2 при I2=0 - величина, обратная коэффициенту передачи по напряжению в режиме холостого хода по выходу; A12=U1/I2 при U2=0 - передаточное сопротивление четырёхполюсника в режиме короткого замыкания по выходу; A21=I1/U2 при I2=0 - передаточная проводимость в режиме холостого хода по выходу; A22=I1/I2 при U2=0 - величина, обратная коэффициенту передачи по току в режиме короткого замыкания по выходу.
Найдём параметры A11, A12, A21, A22 для Т - образного четырёхполюсника.
Выведем параметры A11, A21, которые определяются в режиме холостого хода по выходу (I2=0). По закону Ома (формула 13) ток равен:
(13)
Найдём напряжение U2 по формуле (14):
(14)
Выведем параметр A11 по формуле (15):
(15)
Выведем параметр A21 по формуле (16):
(16)
Выведем параметры A12, A22, которые определяются в режиме короткого замыкания по выходу (U2=0).
По первому закону Кирхгофа (формула (17)) определим ток I1:
(17)
Далее найдём ток I2 и I3 по формулам (18), (19):
(18)
(19)
Тогда ,
по закону Ома (формула (20)):
(20)
Выведем параметр A12 по формуле (21):
(21)
Выведем параметр A22 по формуле (22):
(22)
Вычислим параметры A11, A12, A21, A22 на первой гармонике:
Расчёт A параметров по остальным гармоникам выполнен аналогичным образом, и результаты представлены в таблице 3
"right">Таблица 3Расчёт A параметров по гармоникам
щ/щ1 |
A11 |
A12 |
A21 |
A22 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
1,625+0,375 |
299,8+155,4 |
0,006 |
1,81+0,18 |
|
2 |
1,625+0,75 |
514,926+238,456 |
0,006 |
2,489-0,232 |
|
3 |
1,625+1,5 |
331,577+70,385 |
0,006 |
1,156-0,796 |
|
4 |
1,625+1,125 |
478,529+0,882 |
0,006 |
1,662-1,147 |
|
5 |
1,625+1,875 |
284,344+167,695 |
0,006 |
1,052-0,569 |
|
6 |
1,625+2,25 |
265,15+253,05 |
0,006 |
1,022-0,442 |
|
7 |
1,625+2,625 |
255,493+330,327 |
0,006 |
1,011-0,363 |
|
8 |
1,625+3 |
249,916+402,739 |
0,006 |
1,006-0,309 |
|
9 |
1,625+3,75 |
246,385+472,077 |
0,006 |
1,004-0,269 |
|
10 |
1,625+3,75 |
243,996+539,361 |
0,006 |
1,002-0,239 |
|
11 |
1,625+4,125 |
242,3+605,207 |
0,006 |
1,002-0,215 |
|
12 |
1,625+4,5 |
241,05+670,007 |
0,006 |
1,001-0,195 |
Определим характеристические параметры четырёхполюсника Z1С, Z2C - характеристические сопротивления и g - собственную постоянную передачи.Z1С - это входное сопротивление четырёхполюсника при нагрузке на выходе Z2C, а Z2С - это выходное сопротивление четырёхполюсника при нагрузке на входе Z1С. Собственная постоянная передачи g - это параметр, позволяющий оценить передачу входного сигнала четырёхполюсником при согласованной нагрузке.
Определим характеристические сопротивления Z1C и Z2С на основной частоте сигнала 1 по формулам (23), (24):
(23)
(24)
Рассчитаем собственную постоянную передачи на основной частоте 1 по формуле (25):
(25)
В общем случае g определяется по формуле (26):
g=a+b, (26)
где a=1,034 Нп - собственная постоянная ослабления (характеризует затухание входного сигнала);
b=-0,344 рад - собственная постоянная фазы (характеризует сдвиг фазы входного сигнала).
Расчёт собственной постоянной передачи g по остальным гармоникам выполнен аналогичным образом, и результаты представлены в таблице 4
несинусоидальный амплитуда сигнал гармоника
"right">Таблица 4Расчёт собственной постоянной передачи g по гармоникам
щ/щ1 |
g |
|
1 |
1,161+0,198 |
|
2 |
1,386+0,192 |
|
3 |
1,316+0,007 |
|
4 |
1,168+0,086 |
|
5 |
1,149+0,22 |
|
6 |
1,184+0,321 |
|
7 |
1,223+0,392 |
|
8 |
1,284+0,445 |
|
9 |
1,33+0,485 |
|
10 |
1,379+0,517 |
|
11 |
1,422+0,542 |
|
12 |
1,462+0,563 |
Наиболее часто для оценки передачи сигнала четырехполюсником используются передаточные функции. Передаточная функция (или коэффициент передачи) -- это отношение комплексной выходной величины (U2 или I2) к
комплексной входной величине (U1 или I1).
Модули этих комплексных отношений представляют собой АЧХ четырехполюсника, а их аргументы -- ФЧХ.
Одной из передаточных функций четырехполюсника является коэффициент передачи по напряжению , который может быть выражен через А-параметры по формуле (27):
, (27)
где Zн - сопротивление нагрузки четырёхполюсника.
В общем случае по формуле (28)
, (28)
где KП() - модуль KП() (АЧХ);
() - аргумент KП() (ФЧХ).
Определим коэффициент передачи по напряжению четырёхполюсника на первой гармонике KП(1):
Определим модуль коэффициента передачи по напряжению:
Определим аргумент коэффициента передачи по напряжению четырехполюсника ():
Расчёт модуля коэффициента передачи по напряжению KП и аргумента коэффициента передачи по напряжению по остальным гармоникам выполнен аналогичным образом, и результаты представлены в таблице 5.
"right">Таблица 5Расчёт модуля коэффициента передачи по напряжению KП
щ/щ1 |
KП |
, град. |
|
1 |
0,33 |
-19,542 |
|
2 |
0,242 |
-24,817 |
|
3 |
0,265 |
-17,424 |
|
4 |
0,287 |
-30,899 |
|
5 |
0,263 |
-42,538 |
|
6 |
0,234 |
-50,467 |
|
7 |
0,208 |
-56,108 |
|
8 |
0,186 |
-60,328 |
|
9 |
0,168 |
-63,606 |
|
10 |
0,153 |
-66,23 |
|
11 |
0,14 |
-68,379 |
|
12 |
0,13 |
-70,171 |
Теперь построим АЧХ (рисунок 8) и ФЧХ (рисунок 9) четырёхполюсника:
Рисунок 8 - АЧХ четырехполюсника
Рисунок 9 - ФЧХ четырехполюсника
Определим коэффициент передачи сигнала по напряжению KГ от источника с ЭДС Ег и внутренним сопротивлением Zг=Ом к четырехполюснику на первой гармонике по формуле (29):
(29)
Расчёт коэффициента передачи сигнала по напряжению по остальным гармоникам рассчитывается аналогично и результаты представлены в таблице 6.
"right">Таблица 6Расчёт коэффициента передачи сигнала по напряжению по гармоникам
/1 |
KГ |
, град |
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
0,504 |
8,25 |
|
2 |
0,545 |
13,239 |
|
3 |
0,579 |
16,747 |
|
4 |
0,629 |
19,876 |
|
5 |
0,685 |
20,899 |
|
6 |
0,734 |
20,693 |
|
7 |
0,776 |
19,935 |
|
8 |
0,81 |
18,955 |
|
9 |
0,838 |
17,912 |
|
10 |
0,861 |
16,885 |
|
11 |
0,879 |
15,91 |
|
12 |
0,895 |
15,002 |
Определить коэффициент усиления Kу из условия наименьшего ослабления основной гармоники (1) по формуле (30):
, (30)
где КГ и КП - модули коэффициентов передачи по напряжению генератора и четырехполюсника соответственно.
Входное сопротивление усилителя Rу равняется модулю характеристического сопротивления четырехполюсника Ом на основной частоте входного сигнала. Выходное сопротивление усилителя, в нашем случае равно нулю.
Определим напряжение UmП(1) по формуле (31), которое подаётся на вход четырехполюсника с генератора на основной частоте сигнала:
(31)
Значения напряжения на всех гармониках рассчитываются аналогично,
"right">Таблица 7Значения напряжения на гармониках
щ/щ1 |
UmП, В |
, град |
|
1 |
4,251 |
8,25 |
|
2 |
2,18 |
-76,761 |
|
3 |
0,118 |
-163,253 |
|
4 |
0,629 |
-70,124 |
|
5 |
0,183 |
-159,101 |
|
6 |
0,326 |
-69,307 |
|
7 |
0,17 |
-160,065 |
|
8 |
0,202 |
-71,045 |
|
9 |
0,151 |
-162,088 |
|
10 |
0,138 |
-73,115 |
|
11 |
0,133 |
-164,09 |
|
12 |
0,099 |
-74,998 |
Определим напряжение на входе усилителя UmУ по формуле (32) при нагрузке Z2C четырехполюсника на основной гармонике:
(32)
Расчёт напряжения на входе усилителя по остальным гармоникам производится аналогичным образом, и результаты представлены в таблице 8.
"right">Таблица 8Расчёт напряжения на входе усилителя по гармоникам
щ/щ1 |
UmУ, В |
, град |
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
1,401 |
-11,292 |
|
2 |
0,528 |
-101,578 |
|
3 |
0,031 |
179,323 |
|
4 |
0,18 |
-101,023 |
|
5 |
0,048 |
158,361 |
|
6 |
0,076 |
-119,774 |
|
7 |
0,035 |
143,827 |
|
8 |
0,038 |
-131,372 |
|
9 |
0,025 |
134,306 |
|
10 |
0,021 |
-139,345 |
|
11 |
0,019 |
127,531 |
|
12 |
0.013 |
-145.169 |
Вычислим напряжение на выходе усилителя, то есть напряжение на входе фильтра (UmФ) на основной гармонике по формуле (33):
(33)
Расчёт напряжения на входе фильтра по остальным гармоникам производится аналогичным образом, и результаты представлены в таблице 9:
"right">Таблица 9Расчёт напряжения на входе фильтра по гармоникам
щ/щ1 |
UmФ, В |
, град |
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
8,442 |
-11,292 |
|
2 |
3,183 |
-101,578 |
|
3 |
0,189 |
179,323 |
|
4 |
1,087 |
-101,023 |
|
5 |
0,291 |
158,361 |
|
6 |
0,461 |
-119,774 |
|
7 |
0,210 |
143,827 |
|
8 |
0,228 |
-131,372 |
|
9 |
0,153 |
134,306 |
|
10 |
0,127 |
-139,345 |
|
11 |
0,112 |
127,531 |
|
12 |
0,078 |
-145,169 |
Построим на одном графике (рисунок 10) два сигнала: 1) Входной сигнал (пунктирный); 2) Сигнал на входе фильтра (сплошной).
Рисунок 10 - Входной сигнал и сигнал на входе фильтра
Построим спектры амплитуд и фаз на входе фильтра.
Рисунок 11 - Спектры амплитуд
Рисунок 12 - Спектры фаз
Вычислим коэффициент искажения формы сигнала фильтра (на выходе усилителя) КиФ по формуле (34):
Киф = Uмф(1)/ Uмф (34)
- 4.1. Периодические несинусоидальные сигналы
- 32. Особенности расчета линейных электрических цепей при несинусоидальных сигналах.
- 3.3. Расчет цепей при несинусоидальном периодическом воздействии
- Часть I. Линейные электрические цепи
- 2.4. Расчет линейной электрической цепи при несинусоидальных периодических воздействиях
- 2. Линейные электрические цепи с источниками периодических негармонических воздействий
- Расчет несинусоидальных режимов линейных электрических цепей
- § 4.7.2. Периодические несинусоидальные сигналы
- § 7.16. Расчет линейных цепей при воздействии модулированных колебаний.