Анализ линейной разветвленной электрической цепи различными методами
2. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях.
Требуется:
1. Составить уравнения состояния цепи для t ??0.
2. Найти точные решения уравнений состояния.
3. Найти решения уравнений состояния. Вид решаемых уравнений:
4. Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменных состояния
В первой части курсового проекта требуется провести анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях. Метод переменных состояния составлении и решении системы дифференциальных уравнений относительно переменных, определяющих энергетическое состояние цепи. В данной задаче ими являются напряжение на емкости и ток на индуктивности: uc1, uc2 и il. При этом переменные состояния образуют систему из наименьшего числа переменных, полностью определяющих реакции всех ветвей цепи при заданных начальных условиях и приложенных при t ??0 внешних воздействиях. Требуемая система уравнений может быть получена из системы уравнений, составленной по законам Кирхгофа. При составлении уравнений целесообразно записывать напряжения и токи на емкости и индуктивности через переменные состояния, например, для емкости: uC и Сduс/dt, соответственно.
Исключая из уравнений напряжения и токи, не связанные с переменными состояния, получим систему уравнений по методу переменных состояния, разрешенную относительно первых производных (форма Коши):
=
(1)
Эта система в матричной форме записи имеет вид:
= AX + BV (2)
где A - матрица коэффициентов при переменных состояния, X - вектор - столбец переменных состояния, B - матрица коэффициентов источников тока и ЭДС, V - вектор - столбец параметров источников. Для нас это:
(3)
Решение системы (3) может быть представлено в виде:
X(t) = exp(At) X(0) + exp(At) exp(-??) BVd???????????????????????? ?(4)
?
Так как в нашей цепи действуют источник постоянного тока J и источник постоянной ЭДС E, то решение может быть представлено в более простом виде:
X(t) = exp(At)X(0)+ (exp(At)-1)???BV = exp(At)[X(0)+1???BV] -1???BV (5)
здесь exp(At) - матричная экспоненциальная функция, X(0) - вектор - столбец начальных значений переменных состояния, 1- единичная матрица, A-1-----матрица, обратная матрице A.--Анализ выражения (5) показывает, что оно реакция цепи (в данном случае - переменные состояния) представляет собой сумму реакций при нулевом входе (первое слагаемое) и при нулевом начальном состоянии (второе слагаемое). Термин "нулевой вход" означает, что в цепи отсутствуют источники энергии и переходной процесс происходит за счет энергии, накопленной в электрическом поле конденсатора и в магнитном поле катушки индуктивности (V=0), а "нулевое начальное состояние" означает отсутствию напряжения на конденсаторе и тока в индуктивности перед началом переходного процесса (X(0)=0). Начальные значения переменных состояния могут быть определены из анализа схемы до коммутации (включения E).
Предполагается, что в схеме до коммутации существовал установившийся режим постоянного тока, что позволяет представить схему в виде:
Рис. 2. Схема для определения независимых начальных условий
Анализ схемы рис. 2. позволяет определить независимые начальные условия:
(6)
Определим матричную экспоненциальную функцию по методу Сильвестра. Матричная функция exp(At) может быть представлена в виде:
exp(At) = (7)
где Аr =
и --lr-----собственные значения матрицы (характеристические числа) A, которые могут быть определены из уравнения:
| A - l? | = 0, что позволяет получить:
1 = -12010.48
2 = -3985.293 + 7756.66j
3 = -3985.293 - 7756.66j
Вещественному отрицательному корню матрицы A будет соответствовать собственное колебание в виде затухающей экспоненты, а паре комплексно - сопряженных корней с отрицательной вещественной частью - затухающая по экспоненте синусоидальная функция с собственной частотой wсв--=-- 7756.66 рад/с.
Подстановка exp(At) и начальных условий (6) в решение (5) позволяет получить точное (аналитическое) решение (8):
uc1 = 933.79exp(-12010.5t) + 700.379exp(-3985.29t) cos(7756.66t) + 33.2126exp(-3985.29t) - 815.979
uc2 = -1181.65exp(-12010.5t) + 1180.54exp(-3985.29t) cos(7756.66t) -331.989exp(-3985.29t) sin(7756.66t) + 1092.03
il = -6.87810-2 exp(-12010.5t) + 6.9510-2exp(-3985.29t) cos(7756.66t) -0.363exp(-3985.29t) sin(7756.66t) + 0.272
На рис. 3а, 3б, 3в приведен график зависимости напряжения на конденсаторе uC1(t), uC2(t), il(t) построенные на основании (8).