Наращивание вязкоупругого материала на упругую оболочку
1. Общие соотношения теории затвердевающих и растущих сред
1.1 Уравнения механики сплошных сред для затвердевающих и
растущих тел
Рассмотрим затвердевающие среды, поверхности которых могут наращиваться под нагрузкой. Необходимо различать два процесса: затвердевание в объеме и образование твердой фазы вещества на поверхности наращиваемого тела.
Оба эти процесса происходят при условии, когда существенно проявляются вязкоупругие свойства материалов - линейные или нелинейные. Например, реологические свойства материалов, таких как полимеры, наполненные эластомеры, резины и т.д. изменяются в зависимости от температуры Т, давления, степени затвердевания , времени в теории старения и др. Реологические характеристики материалов другого рода, таких как лед, металлы, бетон, которые являются, по сути, кристаллическими соединениями, также могут зависеть от температуры, давления, времени в теории старения и т.д., но не зависят от коэффициента динамической вязкости. Таким образом, описание процесса затвердевания сводится к определению изменения реологических свойств (модуля упругости, ядер ползучести или релаксации, условия пластичности и т.д.) и параметров, характеризующих затвердевание /7, 15, 24, 27/.
В подобных задачах определения основных понятий, которые использует механика сплошных сред (напряжения, деформации, перемещения), остаются традиционными.
Однако, при образовании твердого состояния на поверхности, которая в процессе наращивания подвержена силовому воздействию, традиционные определения перемещений и деформаций в твердой фазе невозможны, когда отсутствует начальное состояние отсчета. Определения приращений (скоростей) деформаций и приращений напряжений остаются неизменными, поэтому удобно основные законы механики сплошных сред формулировать в приращениях /2, 10, 16, 38/.
При этом приращения напряжений должны удовлетворять уравнениям равновесия
(1.1),
а для скоростей деформаций имеем
(1.2)
Пусть уравнение наращиваемой поверхности записывается как . Если мы находимся на наращиваемой поверхности, то из традиционного краевого условия в напряжениях ( - вектор единичной нормали наращиваемой поверхности, - вектор усилий на поверхности) не следует, что .
Если ввести криволинейные координаты в описании аффинных координат так, чтобы выполнялось
то из равенства для линейной скорости наращивания поверхности получим:
Тогда для нормали можно записать
(1.3)
Запишем тождество
(1.4)
здесь напряжения в момент зарождения рассматриваемого элемента твердого тела.
Пусть
тогда
, или .
Учитывая, что напряжения (1.4) должны удовлетворять уравнению равновесия и
,
то уравнение равновесия перепишется в виде
(*)
.
Т.к.
,
тогда, подставляя полученное в (*) и учитывая, что , имеем
(1.5)
Условие (1.5) следует рассматривать как граничное условие на растущей поверхности для приращений напряжений. Таким образом, для определения вектора приращения напряжений необходимо определить компоненты напряжений на наращиваемой поверхности.