2. Волновые и лучевые аберрации, функции аберраций

Рассмотрим вращательно-симметричную оптическую систему. Пусть , и , - точки пересечения луча, выходящего из точки предмета , соответственно с плоскостью входного зрачка, плоскостью выходного зрачка и плоскостью параксиального изображения. Если - параксиальное изображение точки то вектор называется аберрацией луча или просто лучевой аберрацией (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Лучевая аберрация

Пусть W -- волновой фронт, проходящий через центр выходного зрачка и связанный с пучком, который формирует изображение и выходит из точки . Если аберрации отсутствуют, то W совпадает со сферой S, центр которой лежит в точке параксиального изображения , а сама она проходит через точку , S называется опорной сферой Гаусса (рис. 2.2).

Пусть и -- точки пересечения луча с опорной сферой и волновым фронтом W соответственно.

Рис. 2.2.Волновая и лучевая аберрации

Оптическую длину пути Ф = можно назвать аберрацией волнового элемента в точке Q или просто волновой аберрацией и считать положительной, если и , расположены по разные стороны от Q. В обычных приборах волновые аберрации достигают 40--50 длин волн, однако в приборах, используемых для более точных исследований (например, в астрономических телескопах или микроскопах), они должны быть значительно меньше, порядка долей длины волны.

Выражения для волновой аберрации легко получить с помощью точечной характеристической функции Гамильтона системы.

Если пользоваться для обозначения оптической длины пути квадратными скобками , то

(1)

Здесь было использовано то обстоятельство, что точки и лежат на одном волновом фронте, т.е. .

Введем две прямоугольные системы координат со взаимно параллельными осями, начала которых находятся в осевых точках и плоскостей предмета и изображения, а оси Z совпадают с осью системы. Точки в пространстве предмета будут рассматриваться в первой системе, а в пространстве изображения -- во второй. Z-координаты плоскостей, в которых лежат зрачки, обозначены через и , (на рис 2.1 ).

Согласно (1) волновая аберрация выражается через точечную характеристику V следующим образом:

(2)

где () -- координаты точки , и (X,Y,Z) -- координаты точки Q. Координаты (X,Y,Z) уже не являются независимыми; они связаны соотношением, учитывающим, что точка Q лежит на опорной сфере, т. е,

(3)

Здесь

(4)

-- координаты точки параксиального изображения, М -- гауссово поперечное увеличение и R -- радиус опорной сферы Гаусса

. (5)

Величину Z в выражении (2) можно исключить с помощыо (3), в результате чего Ф стонет функцией только , , и , т. е,

Лучевые аберрации связаны с функцией аберраций Ф (, ; X, Y) простыми соотношениями. Из (2) имеем

(6)

Если , и -- углы, которые образуют луч , с осями, а (X, Y, Z) и () -- координаты точек и то, на рис. 2.2, получим

(7)

где

(8)

есть расстояние от до , и -- показатель преломления среды в пространстве изображения. Далее из (3) имеем

(9)

Подставляя (7) и (9) в соотношение (6), находим для компонент лучевой аберрации

(10)

Последние соотношения являются точными, но стоящая справа величина

сама зависит от координат точки , т. е. от лучевых аберраций. Тем не менее для большинства практических целей можно заменять на радиус опорной сферы R или на другое приближенное выражение (см. ниже, уравнение (15)). Легко показать, что в силу симметрии задачи величина Ф зависит от четырех переменных, входящих только в трех комбинациях, а именно: , и . В самом деле, если ввести в плоскостях XY полярные координаты, т. е. положить

(11)

то окажется, что Ф зависит только от , , и , или, что то же самое, Ф зависит от , , и 0. Предположим теперь, что оси X и Y систем с началами в и поворачивается на один и тот же угол и в одном и том же направлении относительно оси системы.

При этом , , не изменяются, а угол 0 увеличивается на угол поворота. Поскольку функции Ф инвариантна относительно таких поворотов, она не должна зависеть от последней переменной, т. е. зависит только от , , и . Следовательно, функции аберраций Ф является функцией трех скалярных произведений

(12)

двух векторов и .

Отсюда вытекает, что при разложении Ф в ряд по степеням четырех координат нечетные степени будут отсутствовать. Поскольку Ф (0, 0; 0, 0) = 0, то членов нулевой степени тоже не будет. Более того, не будет и членов второй степени, так как, согласно (10), они соответствуют лучевым аберрациям, линейно зависящим от координат, а это противоречит тому, что , является параксиальным изображением точки . Таким образом, наше разложение имеет вид

(13)

где с - константа, а -- полином степени 2k по координатам и содержит их только в виде трех скалярных инвариантов (12). Говорят, что член степени 2k описывает волновую аберрацию порядка 2k. Аберрации наинизшего порядка (2k = - 4) обычно называются первичными аберрациями или аберрациями Зайделя.

Для оценки порядка величин некоторых выражений и точности наших вычислений удобно ввести параметр . Этим параметром может служить любая величина первого порядка, скажем, угловая апертура системы. Тогда можно допустить, что все лучи, проходящие через систему, составляют с оптической осью углы О(), где символ О() означает, что величина угла порядка .

Оценим погрешность, возникающую при замене в основном уравнении (10) на величины, не зависящие от и . Из (3) и (5) имеем

(14)

тогда вместо (8) можем написать

(15)

Соотношения (10) для компонент лучевой аберрации принимают вид

(16)

(17)