2. Математическая модель

Математическое описание электромагнитных процессов в машинах переменного тока намного сложнее, чем в машинах постоянного тока. Это объясняется не только тем, что их питание осуществляется переменным током, но и тем, что в таких машинах имеются несколько взаимосвязанных электрических контуров. В результате при описании электромагнитных процессов мы получаем систему дифференциальных уравнений высокого порядка. В теории электромеханического преобразования энергии существуют различные методы упрощения исходных уравнений. Наиболее распространенным из них является представление электрической машины в виде идеализированного двухфазного электромеханического преобразователя. В идеализированной машине в воздушном зазоре имеем круговое поле, а высшие гармоники отсутствуют. Методы перехода от исходной трехфазной машины к идеализированной хорошо разработаны в общей теории электромеханического преобразования энергии, и мы на них останавливаться не будем. Отметим лишь, что в результате преобразований мы получим идеализированную машину, имеющую две обмотки на роторе и две обмотки на статоре, расположенные по ортогональным осям б и в (рис. 3. 1). Для такой машины справедлива система уравнений:

где u_б^s,u_в^s - напряжения на обмотках статора; i_б^s, i_бг, i_в^s, i_вг - токи в обмотках статора и ротора по осям б и в; L_б^s, L_бг, L_в^s, L_вг - полные индуктивности обмоток статора и ротора по осям б и в; m - число фаз двигателя; M_э - электромагнитный момент двигателя.

Полная индуктивность каждой обмотки может быть записана уравнением

L=M+L_у

где M - взаимная индуктивность между обмотками ротора и статора по осям б и в; L_у - индуктивность рассеяния обмотки. Система уравнений (3. 1) достаточно точно описывает статические и динамические процессы в асинхронном двигателе, если принят гармонический закон изменения напряжений u_б и u_в. Однако она является существенно нелинейной и в таком виде практически не используется. Для упрощения математического описания электромагнитных процессов осуществляют преобразования исходных уравнений. В частности, если в первых четырех уравнениях системы (3. 1) провести замену d/dt-jщ, получим систему уравнений асинхронного двигателя в установившемся режиме:

Так как рассматривается симметричная машина, целесообразно параметры обмоток обозначить L_s=L_б^s=L_в^s, R_s=r_б^s=r_в^s,L_r=L_б^r=L_в^r, R_r=r_б^r=r_в^r, а также ввести понятия x_s=щL_s, x_r=щL_r - полные индуктивные сопротивления статора и ротора,x₀=щM - сопротивление взаимной индукции. Кроме того, обозначим результирующие векторы напряжений и токов , . Тогда от четырех уравнений напряжений (3. 2), если обратиться к обобщающим векторам напряжений, токов и сопротивлений, можно перейти к двум уравнениям:

где н=щ_р/щ. Введем понятия скольжение ротора относительно поля статора s=(щ?щ_р) /щ и ЭДС холостого хода .

двигатель переменный ток управление

Тогда систему уравнений асинхронной машины можно представить в виде:

Полученные уравнения описывают электромагнитные процессы двигателя переменного тока в установившемся режиме.

Схема замещения двигателя переменного тока

Нам дан асинхронный двигатель переменного тока. Необходимо стабилизировать угол поворота привода. Так же дано, что =40 Нм, =12 Ом, = 50 мГц

1) Составим систему уравнений, описывающих данную систему:

Для того, чтобы применить функции и решить их в системе MatLab необходимо записать дифференциальные уравнения в нормальной форме Коши:

Текст М-функции записываем в файл lab1. m, так что каждый раз, когда потребуется вычислить правые части в конкретной точке, из файла будет вызываться эта функция. Необходимость оформления системы уравнений в виде собственной М-функции обусловлена способом применения решателя ode23 (ode45).

1) Способ:

m-файл

function dxdt=lab1(t,x)

global Cm fm u a21 a31 a32

dxdt= [x(2);

(Cm*fm*x(3) - 100*sin(10*t)) *a21;

(u-Cm*fm*x(2) - a31*x(3)) *a32];

Применяем решатель непосредственно в MatLab (a21= , a32= ,

a31= ):

global Cm fm u a21 a31 a32

Cm=10; fm=10; u=220; a21=0. 025; a31=22; a32=10; x0= [0; 0; 0];

tspan=0: 0. 01: 3;

[t,x] =ode45(@lab1,tspan,x0);

plot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,x(:,3).);

2) Способ:

m-файл

function dxdt=lab1(t,x)

dxdt= [x(2); (10*10*x(3) - 100*sin(10*t) *1/20; (220-10*10*x(2) - 22*x(3)) *10];

Применяем решатель непосредственно в MATLAB:

[t,x] =ode23(@lab1, [0,3], [0,0,0,0])

plot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,x(:,3).);

Графическая часть:

Рисунок 2.2 - графики зависимости ц(t), щ(t), i_я(t).