Кінетична енергія. потенціальна енергія, закон збереження механічної енергії

Кінетичною енергією називається енергія механічного руху любого тіла: вимірюється вона тою роботою, яку могло б здійснити тіло при його гальмуванні до повної зупинки, при тій роботі, яку потрібно здійснити, щоб надати тілу дану швидкість.

Нехай тіло 1 (матеріальна точка) масою m, яка рухається зі швидкістю, починає взаємодіяти з тілом 2 і, в результаті цього, гальмується.

При цьому швидкість його зменшується, а значить на тіло діє сила, яка по другому закону Ньютона дорівнює:

.

Якщо за нескінченно малий час dt тіло 1 переміщується на нескінченно малий відрізок dS, то воно здійснює над тілом 2 нескінченно малу роботу, рівну

,

Але

.

Тому маємо:

.

Повна робота на кінцевій ділянці шляху знаходиться шляхом інтегрування:

.

Таким чином, кінетична енергія рухомого тіла рівна:

.

Таким чином, кінетична енергія тіл визначається тільки їх масами і швидкостями.

Потенціальна енергія. Якщо в системі тіл діють тільки сили тяжіння, пружні сили і сили електростатичного поля, то при наявності переміщення тіл ці сили виконують роботу. Очевидно, що при переміщенні тіл змінюється їх взаємне положення (конфігурація системи). А це означає, що система взаємодіючих тіл має запас енергії, яку вона може витратити при зміні своєї конфігурації. Цей запас енергії, який обумовлений конфігурацією тіл системи, називається потенціальною енергією системи. Знайдемо потенціальну енергію матеріальної точки m в полі тяжіння матеріальної точки М. Для цього обчислимо роботу проти сил тяжіння. При піднятті на невелику висоту h (h<<R - радіуса Землі) вага тіла p = mq можна вважати сталою. Тоді маємо:

.

Таким чином тіло масою m на висоті h над поверхнею Землі має потенціальну енергію:

.

Не важко обчислити потенціальну енергію деформованої пружини. Сила пружності

.

Сила, що стискає пружину протилежна силі пружності .

Роботу цієї змінної сили на шляху x знайдемо шляхом інтегрування:

.

Таким чином, стиснена пружина або розтягнута має запас потенціальної енергії:

. (8)

Дослід показує, що якщо в замкненій системі не відбувається перетворення механічної енергії в інші види енергії, то загальна кількість механічної енергії системи залишається сталою

(9)

В цьому полягає закон збереження енергії, який формулюється ще так: енергія в замкненій системі може перетворюватись із одного виду в другі, але повна її величина залишається сталою.

Робота являється мірою передачі руху від одного тіло до другого, а енергія є єдина кількісна міра різних форм руху матерії. Рух матерії тільки перетворюється з одної форми в іншу і ніколи не зникає.

В фізиці механічна система, при русі якої сума кінетичної та потенціальної енергії залишається сталою, називається консервативною системою. В земних умовах консервативними можна приблизно вважати ті системи, в яких можна знехтувати силами тертя.

Відмітимо, що системи, в яких повна механічна енергія при русі безперервно зменшується (розсіюється), переходить в другі, немеханічні, форми енергії називаються диссипативними (або неконсервативними) системами.

Всі реальні системи в земних умовах являються диссициативними. Закон збереження енергії справедливий і для диссипативних систем, якщо під певною енергією розуміють суму всіх видів енергій системи.

Відмітимо, що закон збереження енергії не справедливий для інерціальних систем, поскільки сили інерції всюду проявляються як зовнішні сили.

Елементи кінематики обертового руху

Абсолютно твердим тілом називається таке тіло, віддаль між любими двома точками якого залишається постійна незалежно від наявності або відсутності сил, діючих на тіло. Такі тіла надалі будуть називатися просто твердими.

Найбільш просто задачі механіки розвязуються для матеріальних точок. Тому в цих випадках, коли не можна знехтувати формою та розмірами тіла, його в думці розбивають на невеликі елементи так, щоб кожний елемент можна було розглядати як матеріальну точку.

Таким чином, задача про рух твердого тіла зводиться до задачі про рух великого числа матеріальних точок (системи матеріальних точок).

Обертовим рухом твердого тіла називають такий рух при якому траєкторії всіх точок тіла являються колами, центри яких лежать на одній прямій, що називається віссю обертання.

Кінетично обертовий рух записується наступним співвідношенням:

, (10)

де - кутова швидкість.

Кутова швидкість - це вектор, напрямлений вздовж стін обертання в ту сторону, в яку рухався б буравчик, ручка якого обертається в напрямку руху точки по колу.

Якщо = const, то обертання рівномірне

кутове прискорення

(11)

звязок між лінійною і кутовою швидкістю

(12)

звязок між лінійним (точніше, тангенціальним) прискоренням і кутовим прискоренням:

(13)

Проінтегрувавши вирази (10) і (11), одержимо слідуючі формули:

(14)

(15)

(16)

Висновки

Для замкнутої системи геометрична сума імпульсів тіл під час будь-яких взаємодій залишається сталою.

Робота характеризує дію сили, повязану з переміщенням тіла.

Якщо на тіло діє кілька сил загальна робота дорівнює алгебраїчній сумі робіт, що виконується кожною силою. Робота в різних інерціальних системах відліку різна, бо різне переміщення.

Потужність характеризує швидкість виконання роботи.

Енергія характеризує механічний стан тіла (системи тіл).

Кінетична енергія характеризує стан руху тіла.

Потенціальна енергія характеризує взаємодію тіл або частинок і залежить від їх взаємного розміщення.

Для будь-якої системи тіл, у якій діють тільки внутрішні потенціальні сили, механічна енергія системи залишається сталою.

Для замкнутої системи геометрична сума імпульсів тіл під час будь-яких взаємодій залишається сталою.

Тема 2. Динаміка обертального руху

Навчальний потік інженери

Час 2 години

Місце 235 кл

Навчальна та виховна мета

_________________________________________

_____________________________________________________________

Навчальні питання і розподіл часу

Вступ_____________________________________ -… хвил.

Момент сили. Кінетична енергія обертального

руху тіла. -… хвил.

Момент інерції. Рівняння динаміки обертального

Руху. -… хвил.

Момент імпульса. Закон збереження моменту

імпульса. -… хвил.

4. Поняття про гіроскопічний ефект. -… хвил.

Висновки та відповіді на питання -… хвил.

Навчально-матеріальне забезпечення

Гіроскоп.

Лектор -2000.

Організаційно-методичні вказівки до проведення лекції

Перевіряється наявність курсантів та оголошується тема, мета та питання, що вивчаються, дається література.

За допомогою "Лектора-2000" пояснити та визначити формулу кінетичної енергії обертального руху твердого тіла.

Пояснити, що в обертальному русі твердого тіла мірою його інертних властивостей є момент інерції. Визначити рівняння динаміки обертального руху, пояснити за допомогою "Лектора-2000" та сформулювати закон збереження імпульсу.

Гіроскопічний ефект пояснити за допомогою гіроскопу та "Лектора-2000". Звернути увагу на його застосування.

Вступ

При порівнянні законів обертального та поступального рухів спостерігається аналогія між ними, тільки в обертальному русі замість сили виступає її момент, роль маси відіграє момент інерції. В рівняння динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі входить його кутове прискорення. При обертальному русі аналогом імпульсу являється момент імпульсу.

Закони збереження моменту імпульсу - фундаментальний закон природи. Він повязаний з певною властивістю симетрії простору - його ізотропністю, тобто з інваріантністю фізичних законів відносно вибору напрямку осей координат системи відліку.

Момент сили. кінетична енергія обертового тіла

Нехай тіло обертається під дією сили F. Довжина перпендикуляру, опущеного з вісі обертання на лінію дії сили називається плечем сили. Добуток сили на плече називається моментом сили:

(1)

Рис.1

Будь-який елемент маси обертового тіла має лінійну швидкість і отже, він має кінетичну енергію

.

Використавши співвідношення:

Знаходимо

,

але являє собою момент інерції елемента маси. Тому маємо:

(2)

Кінетична енергія всього тіла буде дорівнювати сумі кінетичних енергій всіх елементів мас:

.

Величина визначає собою момент інерції всього тіла відносно даної вісі обертання. Тому кінетична енергія обертового тіла рівна:

. (3)

Якщо тіло одночасно з обертанням рухається поступально, то його повна кінетична енергія рівна:

, (4)

де - швидкість руху центрам мас тіла.

Момент інерції тіла відносно даної вісі характеризує інерційні властивості тіла при обертовому рухові навколо даної вісі.

Момент інерції. рівняння динаміки обертового руху

При порівнянні законів поступового і обертального руху між ними існує аналогія. Так формули кінетичної енергії мають однаковий вигляд, але при обертанні тіл роль маси відіграє момент інерції. Яка ж величина грає роль сили?

Розглянемо обертання твердого тіла навколо вісі (рис.1)

Нехай на елемент маси діє сила . Елемент маси обертається з лінійною швидкістю . Тоді із 2 закону Ньютона маємо:

; ; (5)

Тому знаходимо:

.

Домноживши обидві частини останнього рівняння на одержимо:

.

Просумуємо ці рівняння для всіх елементів тіла:

.

Величини являє собою сумарний обертовий момент, що діє на тіло, а величина - момент інерції тіла. Тоді маємо:

(6)

Рівняння (6) називається основним рівнянням динаміки обертового руху. Формулюється так: момент сили, що діє на тіло, дорівнює добутку моменту інерції тіла на кутове прискорення. Рівняння (6) називають 2 законом Ньютона для обертового руху.

Момент імпульсу. закон збереження моменту імпульсу

З рівняння (5) маємо:

.

Домноживши обидві частини цього рівняння на , одержимо:

.

При постійних можна записати так: