1. Теорема Ферма о необходимом условии экстремума. Принцип Ферма

Эта важная теорема дифференциального исчисления столь проста, что изучается в школьном курсе "Алгебра и элементарные функции". В современных терминах теорема формулируется так: если функция f (x), определенная в окрестности точки x , дифференцируема в этой точке и имеет при x = x экстремум, то f (x) = 0.

Теорема получена в 1628-1629 годах при решении задачи на отыскание наибольших и наименьших значений многочленов, а известна стала лишь десять лет спустя из письма к Р. Декарту ("О вершине параболы"), переданного через М. Мерсенна в 1638 году. Полученному результату Ферма посвятил также работу "Метод отыскания наибольших и наименьших значений" (1637), которая, однако, была опубликована лишь в 1679 году.

Каким же образом получил Ферма свою теорему почти за полвека до "изобретения" производной и дифференциального исчисления? Он обратил внимание на то, что в достаточно малой окрестности точки экстремума (точки локального минимума или локального максимума) приращение функции сохраняет знак независимо от знака приращения аргумента: в точке строгого минимума приращение положительно, а в точке максимума отрицательно. Поэтому для отыскания экстремума Ферма изучал зависимость приращения функции от малых приращений аргумента. Покажем, к примеру, как по методу Ферма следовало искать вершину параболы y = = x, то есть минимум функции f (x) = x. Рассмотрим приращение функции f (x) в произвольной точке x при малом приращении аргумента h. Получим

f (x + h) - f (x) = (x + h)- x = 2xh + h (1)

Чтобы приращение функции f (x) не зависело от h, нужно, чтобы выполнялось равенство 2xh = 0, то есть 2x = 0. Значит, x = 0 и вершина параболы y = x имеет координаты (0, 0). С точки зрения дифференциального исчисления мы искали такое x, что f (x) = 2x = 0. Ферма не занимался изучением достаточных условий экстремума, но отметим все же, что в силу неравенства f (0 + h) - f (0) = h= 0 можно утверждать наличие в точке x = 0 локального минимума функции. Рассмотрим еще один пример. Пусть g(x) = x(1 - x). Имеем

g(x + h) - g(x) = x + h - (x + h)- x + x = (1 - 2x)h - h. (2)

Наибольшее значение функция g(x) имеет в точке x, где 1 - 2x = 0, то есть при x = 1/2. При этом g = 1/4.

Своим открытием Ферма перевел большой класс почти нерешаемых задач в разряд вполне разрешимых, так как для отыскания экстремума дифференцируемой функции оказалось достаточным рассматривать вместо всего множества определения функции лишь множество ее критических точек (точек, в которых производная функции обращается в нуль).

Пользуясь методом Декарта для сведения некоторых геометрических задач к задачам исследования "величин" и своим методом отыскания наибольших и наименьших значений, Ферма успешно решил задачи, часть из которых поставил сам.

Можно с уверенностью предположить, что из "Начал" Евклида Ферма знал известную задачу на отыскание максимального значения, которая теперь легко могла быть решена его методом.

Задача Евклида[1]. Из всех параллелограммов, вписанных в треугольник, найти тот, который имеет наибольшую площадь.

Эту задачу Евклид решил сам и установил, что искомым параллелограммом является тот, у которого основание вдвое меньше основания данного треугольника. Теперь же задача геометрии сводится к несложной задаче на отыскание экстремума функции. Пусть в ?ABC вписан параллелограмм AMND (рис. 1). Предположим, что AD = x * AC, 0 < x < 1. Из ?ABC ?DNC следует равенство NN = (1 - x) * BB. Вследствие этого площадь параллелограмма

S = AC * BB *x(1 - x) = 2Sx(1 - x),

где S - площадь треугольника. Как было показано выше, функция g(x) = = x(1 - x) имеет максимум при x = 1/2. Таким образом, S = S /2 при x = 1/2, то есть при AD = DC.

Задача Ферма. Отрезок AB разделить на отрезки AC и CB так, чтобы прямоугольник со сторонами AC и CB имел наибольшую площадь.

Предположим, что AC = x * AB, 0<x<1. Тогда CB = (1-x)AB и площадь прямоугольника S = ABx(1 - x). Таким образом, площадь прямоугольника со сторонами AC и CB имеет максимальное значение AB/4 при x = 1/2, то есть отрезок AB нужно поделить пополам.

Приводя простейшие примеры применения своего метода, Ферма указывал, что так же нужно действовать и в других случаях. Каких? Не означает ли это, что он решал более сложные задачи на отыскание экстремума, которые навели его на мысль о неком общем законе, господствующем в природе?