Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

курсовая работа

1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

Для цепи дано и В, где

По данным требуется:

1. 1 Составить уравнения состояния цепи при .

1.2 Найти точные решения уравнения состояния.

1.3 Найти решение уравнения состояния, используя один из численных методов.

1.4 Построить точные и численные решения уравнения состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменных состояния.

1.1 Составление уравнений состояния

Размещено на http://www.allbest.ru/

Уравнения состояния в нормальной форме имеют вид . Для определения элементов матриц будем искать формулы, определяющие , и через iL1, iL2 и uC. Из полученных таким образом уравнений будут найдены матрицы и (F)

По условию задания матрицы , примут вид:

,

Расставим токи и составим уравнения по законам Кирхгофа, в результате получим:

Теперь из них выразим , и , зная, что :

1.2 Точное решение уравнений состояния

Точному решению дифференциальных уравнений соответствует следующая формула

Как видно для решения нам потребуются начальные условия и матричная экспоненциальная функция .

Определим начальные условия, при t<0 и e(t) = 0:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из рисунка следует, что iL10 = iL20=R2 , а напряжение на конденсаторе равно падению напряжения на резисторе R2.

Составим уравнения по законам Кирхгофа для нахождения iRn:

J - iR1 - iR2 = 0 4 - iR1 - iR2 = 0

-iR1•R1 + iR2•R2 = 0 -500•iR1 + 500•iR2 = 0

Отсюда следует, что

iR2 = iL10 = iL20 = 2 A

uC0 = R2•iR2 = 500 •2= 1000 В

Определим матричную экспоненциальную функцию :

Это можно путем разложения в ряд Тейлора, так чтобы число слагаемых ряда равнялось числу реактивных элементов, т.е. три члена.

, где

Коэффициенты можно определить из следующей системы:

В этой матрице собственные числа матрицы , которые могут быть получены из условия . Или используя MathCad:

Теперь найдем :

Запишем матричную экспоненциальную функцию:

Найдем переменные состояния, пользуясь формулой

но в нашем случае, т.к. источники питания постоянны можно воспользоваться более простой формулой

1.3 Решение уравнений состояния численным методом

Воспользуемся наиболее простым методов решения систем дифференциальных уравнений - методом Эйлера. Он заключается в следующем - пусть дана зависимость . Тогда определится из формулы . Точность формулы тем выше, чем меньше , - заданное начальное условие.

Точность решения задается следующими параметрами:

,

где N - число разбиений.

Для наших переменных состояния имеем:

Графики решений уравнения состояний приведены ниже. Сплошная линия соответствует точному решению, а прерывистая численному решению.

Делись добром ;)