Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях
1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях
Для цепи дано и В, где
По данным требуется:
1. 1 Составить уравнения состояния цепи при .
1.2 Найти точные решения уравнения состояния.
1.3 Найти решение уравнения состояния, используя один из численных методов.
1.4 Построить точные и численные решения уравнения состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменных состояния.
1.1 Составление уравнений состояния
Размещено на http://www.allbest.ru/
Уравнения состояния в нормальной форме имеют вид . Для определения элементов матриц будем искать формулы, определяющие , и через iL1, iL2 и uC. Из полученных таким образом уравнений будут найдены матрицы и (F)
По условию задания матрицы , примут вид:
,
Расставим токи и составим уравнения по законам Кирхгофа, в результате получим:
Теперь из них выразим , и , зная, что :
1.2 Точное решение уравнений состояния
Точному решению дифференциальных уравнений соответствует следующая формула
Как видно для решения нам потребуются начальные условия и матричная экспоненциальная функция .
Определим начальные условия, при t<0 и e(t) = 0:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Из рисунка следует, что iL10 = iL20=R2 , а напряжение на конденсаторе равно падению напряжения на резисторе R2.
Составим уравнения по законам Кирхгофа для нахождения iRn:
J - iR1 - iR2 = 0 4 - iR1 - iR2 = 0
-iR1•R1 + iR2•R2 = 0 -500•iR1 + 500•iR2 = 0
Отсюда следует, что
iR2 = iL10 = iL20 = 2 A
uC0 = R2•iR2 = 500 •2= 1000 В
Определим матричную экспоненциальную функцию :
Это можно путем разложения в ряд Тейлора, так чтобы число слагаемых ряда равнялось числу реактивных элементов, т.е. три члена.
, где
Коэффициенты можно определить из следующей системы:
В этой матрице собственные числа матрицы , которые могут быть получены из условия . Или используя MathCad:
Теперь найдем :
Запишем матричную экспоненциальную функцию:
Найдем переменные состояния, пользуясь формулой
но в нашем случае, т.к. источники питания постоянны можно воспользоваться более простой формулой
1.3 Решение уравнений состояния численным методом
Воспользуемся наиболее простым методов решения систем дифференциальных уравнений - методом Эйлера. Он заключается в следующем - пусть дана зависимость . Тогда определится из формулы . Точность формулы тем выше, чем меньше , - заданное начальное условие.
Точность решения задается следующими параметрами:
,
где N - число разбиений.
Для наших переменных состояния имеем:
Графики решений уравнения состояний приведены ниже. Сплошная линия соответствует точному решению, а прерывистая численному решению.